Considere um sistema de controle cuja função de transferência da malha aberta é
G(s) H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+3)}
Determine se o seguinte ponto faz parte do lugar das raízes:
s=-1+j

Passo 1

O enunciado dá a função de malha aberta
G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+3)}
e pede para determinar se o ponto s=-1+j faz parte do lugar das raízes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Pontos singulares (polos) de }G(s)H(s):\; s=0,\; s=-1,\; s=-3.
O ponto a verificar é s=-1+j. A pergunta é simplesmente: esse ponto pertence ao lugar das raízes quando variamos K (assumindo K real)?

Passo 2

Regra fundamental usada (explicada didaticamente): um ponto s pertence ao lugar das raízes se, e somente se, para algum K real a condição de fase (ângulo) de G(s)H(s) for
\angle G(s)H(s)=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
ou em graus (2k+1)180^\circ. Isso vem da forma complexa da equação característica 1+G(s)H(s)=0, que exige que G(s)H(s) tenha fase ímpar de 180^\circ e magnitude igual a 1 para algum K. Vou aplicar primeiro a condição de fase; se ela falhar o ponto não pertence ao lugar das raízes (não precisamos calcular K).
Para nossa função, como não há zeros complexos além de K (que assumimos real positivo/negativo conforme necessário), a fase é
\angle G(s)H(s)=\angle K - \sum_{i}\angle(s-p_i),
onde os p_i são os polos ( 0,-1,-3). Para K real temos \angle K=0^\circ (se K>0) ou 180^\circ (se K<0), mas a regra do lugar das raízes usual toma K real variando; a condição de fase deve ser satisfeita para algum valor real de K. Vou primeiro testar com \angle K=0^\circ — se necessário comentarei o caso K<0.

Passo 3

Calcular os vetores s-p_i no ponto s=-1+j e seus ângulos (explicando como obter cada ângulo):
s-0 = -1 + j.
Para um número complexo x+jy, o ângulo é \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) ajustado pelo quadrante. Aqui x=-1,y=1. \arctan(1/ -1)=\arctan(-1)=-45^\circ, mas o ponto (-1,1) está no segundo quadrante, então o ângulo correto é
\angle(-1+j)=180^\circ-45^\circ=135^\circ.
Em seguida
s-(-1)=s+1 = 0 + j,
que é o ponto (0,1), cujo ângulo é
\angle(0+j)=90^\circ.
Finalmente
s-(-3)=s+3 = 2 + j,
que é o ponto (2,1). O ângulo é \arctan\!\left(\frac{1}{2}\right). Numericamente
\angle(2+j)\approx 26{,}565^\circ.
(Explicação: \arctan(0{,}5)\approx 26{,}565^\circ.)

Passo 4

Somar os ângulos das contribuições dos polos e aplicar a fórmula da fase:
\sum \angle(s-p_i)=135^\circ + 90^\circ + 26{,}565^\circ = 251{,}565^\circ.
Como G(s)H(s) não tem zeros (apenas o ganho K), a fase de G(s)H(s) para K>0 é
\angle G(s)H(s)= -\sum \angle(s-p_i) = -251{,}565^\circ.
Normalizando esse valor para a faixa (-180^\circ,180^\circ] somamos 360^\circ:
-251{,}565^\circ + 360^\circ = 108{,}435^\circ.
A condição do lugar das raízes exige que \angle G(s)H(s)=(2k+1)180^\circ, ou seja 180^\circ,-180^\circ,540^\circ,\ldots. O valor calculado 108{,}435^\circ NÃO é igual a 180^\circ nem a qualquer valor da forma (2k+1)180^\circ. Portanto, para K>0 a condição de fase não é satisfeita.
Agora, comentar rapidamente o caso K<0: se K<0 então \angle K=180^\circ e a fase total seria
\angle G(s)H(s)=180^\circ - 251{,}565^\circ = -71{,}565^\circ,
que normalizado fica 288{,}435^\circ ou -71{,}565^\circ; também não é um múltiplo ímpar de 180^\circ. Logo mesmo permitindo K negativo, a condição de fase não é satisfeita.

Passo 5

Conclusão didática e lembrança prática para prova: para testar um ponto qualquer s no lugar das raízes, faça sempre isto:
  1. Liste polos e zeros e compute os vetores s-p_i e s-z_i.
  2. Calcule os ângulos desses vetores com cuidado com o quadrante.
  3. Use a condição de fase \angle G(s)H(s)=(2k+1)180^\circ. Se falhar, o ponto não está no lugar das raízes; se passar, use a condição de módulo para obter K:
|G(s)H(s)|=1 \Rightarrow K = |s(s+1)(s+3)|.
No nosso caso a condição de fase falhou, então não é preciso calcular K.

Resposta

s=-1+j não pertence ao lugar das raízes.

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