Considere um sistema de controle cuja função de transferência da malha aberta é
Determine se o seguinte ponto faz parte do lugar das raízes:
Passo 1
O enunciado dá a função de malha aberta
e pede para determinar se o ponto
faz parte do lugar das raízes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O ponto a verificar é
. A pergunta é simplesmente: esse ponto pertence ao lugar das raízes quando variamos
(assumindo
real)?
Passo 2
Regra fundamental usada (explicada didaticamente): um ponto
pertence ao lugar das raízes se, e somente se, para algum
real a condição de fase (ângulo) de
for
ou em graus
. Isso vem da forma complexa da equação característica
, que exige que
tenha fase ímpar de
e magnitude igual a 1 para algum
. Vou aplicar primeiro a condição de fase; se ela falhar o ponto não pertence ao lugar das raízes (não precisamos calcular
).
Para nossa função, como não há zeros complexos além de (que assumimos real positivo/negativo conforme necessário), a fase é
Para nossa função, como não há zeros complexos além de
onde os
são os polos (
). Para
real temos
(se
) ou
(se
), mas a regra do lugar das raízes usual toma
real variando; a condição de fase deve ser satisfeita para algum valor real de
. Vou primeiro testar com
— se necessário comentarei o caso
.
Passo 3
Calcular os vetores
no ponto
e seus ângulos (explicando como obter cada ângulo):
Para um número complexo
, o ângulo é
ajustado pelo quadrante. Aqui
.
, mas o ponto
está no segundo quadrante, então o ângulo correto é
Em seguida
que é o ponto
, cujo ângulo é
Finalmente
que é o ponto
. O ângulo é
. Numericamente
(Explicação:
.)
Passo 4
Somar os ângulos das contribuições dos polos e aplicar a fórmula da fase:
Como
não tem zeros (apenas o ganho
), a fase de
para
é
Normalizando esse valor para a faixa
somamos
:
A condição do lugar das raízes exige que
, ou seja
. O valor calculado
NÃO é igual a
nem a qualquer valor da forma
. Portanto, para
a condição de fase não é satisfeita.
Agora, comentar rapidamente o caso
: se
então
e a fase total seria
que normalizado fica
ou
; também não é um múltiplo ímpar de
. Logo mesmo permitindo
negativo, a condição de fase não é satisfeita.
Passo 5
Conclusão didática e lembrança prática para prova: para testar um ponto qualquer
no lugar das raízes, faça sempre isto:
- Liste polos e zeros e compute os vetores
e . - Calcule os ângulos desses vetores com cuidado com o quadrante.
- Use a condição de fase
. Se falhar, o ponto não está no lugar das raízes; se passar, use a condição de módulo para obter :
No nosso caso a condição de fase falhou, então não é preciso calcular
.