Expreesse as equações dadas em coordenadas polares:
x^{2}+y^{2}+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para converter a curva dada por
x^{2}+y^{2}+6y=0
do sistema cartesiano para coordenadas polares. Vamos usar as relações \displaystyle x = r\cos\theta
e \displaystyle y = r\sin\theta.

Passo 2

Substituindo x e y na equação original, temos
(r\cos\theta)^{2} + (r\sin\theta)^{2} + 6\,(r\sin\theta) = 0.

Passo 3

Reunindo termos em r:
r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta + 6r\sin\theta = 0.
Como \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1, isso vira
r^{2} + 6r\sin\theta = 0.

Passo 4

Fatorando r:
r\bigl(r + 6\sin\theta\bigr)=0.
A solução trivial r=0 é apenas a origem. Para a curva não degenerada, toma-se
r + 6\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = -6\sin\theta.

Resposta

r = -6\sin\theta

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