Se a expressão x=A sin (alpha cdot gamma cdot X) é dimensionalmente correta, com [A]=L e [gamma]=T determine a dimensão da grandeza alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar a correção dimensional da expressão . Estamos trabalhando com dimensionalidade aqui. Sabemos que (comprimento) e (tempo). Precisamos descobrir qual é a dimensão da grandeza .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno ( ) só pode receber um argumento adimensional. Isso significa que o que está dentro do seno precisa ser sem unidades, ou seja, não deve ter dimensão de comprimento, tempo, etc.

Passo 3

O argumento do seno nessa expressão é [alpha cdot gamma cdot X] = 1 . Como a função seno exige que esse produto seja adimensional, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir as dimensões que já conhecemos:
  • [alpha] cdot [gamma] cdot [X] = [alpha] cdot T cdot L = 1
  • Vamos considerar porque tem dimensão e geralmente representaria uma posição ou comprimento.
Então:

Passo 5

Para que o produto seja adimensional, precisamos que:
[alpha] cdot T cdot L = 1
Resolvendo para [alpha] = 1T cdot L :

Resposta

A dimensão da grandeza é .

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