Expresse o campo vetorial overrightarrow{\mathrm{W}}=\left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}\right) \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\mathrm{y}}+\mathrm{xz} \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\mathrm{z}} em:
coordenadas cilíndricas no ponto \mathrm{P}\left(\rho=6, \varphi=60^{\circ}, \mathrm{z}=-4\right).

Passo 1

O enunciado pede: expressar o campo vetorial \overrightarrow{W} em coordenadas cilíndricas no ponto P dado.
Informações fornecidas:
  • O campo vetorial em coordenadas cartesianas é \overrightarrow{W}=(x^{2}-y^{2})\,\overrightarrow{a}_{y}+xz\,\overrightarrow{a}_{z}.
  • O ponto P tem coordenadas cilíndricas \rho=6, \varphi=60^\circ, z=-4.
  • Objetivo final: escrever \overrightarrow{W} na base \{\overrightarrow{a}_{\rho},\overrightarrow{a}_{\varphi},\overrightarrow{a}_{z}\} avaliando no ponto P.

Passo 2

Estratégia e fórmulas úteis (explicadinhas): primeiro vou obter as coordenadas cartesianas (x,y,z) do ponto P usando as fórmulas de conversão entre cilindricas e cartesianas; depois calculo as componentes cartesianas de \overrightarrow{W} em P; por fim converto essas componentes para as componentes cilíndricas usando as relações entre os versores.
Conversão coordenadas:
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z.
Relação entre versores (estas são fórmulas que mostram como transformar componentes):
\overrightarrow{a}_{\rho}=\cos\varphi\,\overrightarrow{a}_{x}+\sin\varphi\,\overrightarrow{a}_{y}, \qquad \overrightarrow{a}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\overrightarrow{a}_{x}+\cos\varphi\,\overrightarrow{a}_{y}, \qquad \overrightarrow{a}_{z}=\overrightarrow{a}_{z}.
Se um vetor tem componentes cartesianas (W_x,W_y,W_z), suas componentes cilíndricas são dadas por
W_{\rho}=W_x\cos\varphi+W_y\sin\varphi, \qquad W_{\varphi}=-W_x\sin\varphi+W_y\cos\varphi, \qquad W_{z}=W_z.
Vou aplicar isso com W_x,W_y,W_z obtidos do campo.

Passo 3

Calcular as coordenadas cartesianas do ponto P:
x=\rho\cos\varphi=6\cos60^\circ=6\cdot\frac{1}{2}=3,
y=\rho\sin\varphi=6\sin60^\circ=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3},
z=-4.

Passo 4

Encontrar as componentes cartesianas de \overrightarrow{W} avaliadas em P.
O campo dado tem componentes cartesianas
W_x=0,\qquad W_y=x^{2}-y^{2},\qquad W_z=xz.
Substituindo x=3, y=3\sqrt{3}, z=-4:
W_y = x^{2}-y^{2}=3^{2}-(3\sqrt{3})^{2}=9-9\cdot3=9-27=-18,
W_z = xz=3\cdot(-4)=-12.
Logo, em cartesianas no ponto P:
(W_x,W_y,W_z)=(0,\,-18,\,-12).

Passo 5

Converter para componentes cilíndricas usando as fórmulas do Passo 2 e os valores de \varphi.
Primeiro usamos \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Calcular W_{\rho}:
W_{\rho}=W_x\cos\varphi+W_y\sin\varphi =0\cdot\frac{1}{2}+(-18)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-18\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-9\sqrt{3}.
Calcular W_{\varphi}:
W_{\varphi}=-W_x\sin\varphi+W_y\cos\varphi =-0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+(-18)\cdot\frac{1}{2}=-9.
Calcular W_{z}:
W_{z}=W_z=-12.

Passo 6

Montar o vetor na base cilíndrica e escrever de forma final. Assim, no ponto P:
\overrightarrow{W} = W_{\rho}\,\overrightarrow{a}_{\rho}+W_{\varphi}\,\overrightarrow{a}_{\varphi}+W_{z}\,\overrightarrow{a}_{z} = -9\sqrt{3}\,\overrightarrow{a}_{\rho} -9\,\overrightarrow{a}_{\varphi} -12\,\overrightarrow{a}_{z}.

Resposta

-9\sqrt{3}\,\overrightarrow{a}_{\rho}-9\,\overrightarrow{a}_{\varphi}-12\,\overrightarrow{a}_{z}

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