Determine (
sendo
dado por:
;
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial em coordenadas cilíndricas:
O que é pedido: determinar o rotacional
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os componentes em coordenadas cilíndricas são funções de
e (não dependem de ). - As componentes são:
-
, -
, -
.
-
Passo 2
Fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas (para um campo
):
Breve explicação didática das fórmulas:
-
é a coordenada radial, o ângulo azimutal e o eixo axial. - Cada componente do rotacional combina derivadas parciais cruzadas das componentes do campo, ajustadas pelos fatores geométricos da base cilíndrica (aparece
e o produto ). - Vamos aplicar essas expressões diretamente, calculando as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Identificar explicitamente as componentes (repetindo para ficar claro):
Passo 4
Calcular as derivadas parciais que aparecem nas fórmulas.
Primeiro, as que envolvem
e
:
(ambas nulas porque
é constante e
não depende de
).
Agora as outras:
(sem dependência de
),
Calcular os termos para a componente
:
Passo 5
Calcular cada componente do rotacional usando os resultados anteriores.
Componente radial:
Componente azimutal:
Componente axial:
Simplificando o interior:
Dividindo por
:
Passo 6
Montando o rotacional completo em coordenadas cilíndricas:
Comentário rápido e encorajador: deu só componente em
, porque as dependências e cancelamentos nas derivadas eliminaram as outras componentes — resultado simples e direto, ótimo em prova!