Determine ( \vec{\nabla} \times \overrightarrow{\mathrm{H}}) sendo \overrightarrow{\mathrm{H}} dado por:
\overrightarrow{\mathrm{H}}=2 \rho \cos \varphi \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\rho}-4 \rho \operatorname{sen} \varphi \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\varphi}+3 \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\mathrm{z}};

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em coordenadas cilíndricas:
\overrightarrow{\mathrm{H}}=2\rho\cos\varphi\,\overrightarrow{\mathrm{a}}_{\rho}-4\rho\sin\varphi\,\overrightarrow{\mathrm{a}}_{\varphi}+3\,\overrightarrow{\mathrm{a}}_{z}.
O que é pedido: determinar o rotacional \vec{\nabla}\times\overrightarrow{\mathrm{H}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os componentes em coordenadas cilíndricas são funções de \rho e \varphi (não dependem de z).
  • As componentes são:
    • H_{\rho}=2\rho\cos\varphi,
    • H_{\varphi}=-4\rho\sin\varphi,
    • H_{z}=3.

Passo 2

Fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas (para um campo \mathbf H=H_{\rho}\,\overrightarrow{\mathrm{a}}_{\rho}+H_{\varphi}\,\overrightarrow{\mathrm{a}}_{\varphi}+H_{z}\,\overrightarrow{\mathrm{a}}_{z}):
(\nabla\times\mathbf H)_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial H_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial H_{\varphi}}{\partial z},
(\nabla\times\mathbf H)_{\varphi}=\frac{\partial H_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial \rho},
(\nabla\times\mathbf H)_{z}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho H_{\varphi})-\frac{\partial H_{\rho}}{\partial \varphi}\right).
Breve explicação didática das fórmulas:
  • \rho é a coordenada radial, \varphi o ângulo azimutal e z o eixo axial.
  • Cada componente do rotacional combina derivadas parciais cruzadas das componentes do campo, ajustadas pelos fatores geométricos da base cilíndrica (aparece 1/\rho e o produto \rho H_{\varphi}).
  • Vamos aplicar essas expressões diretamente, calculando as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Identificar explicitamente as componentes (repetindo para ficar claro):
H_{\rho}=2\rho\cos\varphi,\qquad H_{\varphi}=-4\rho\sin\varphi,\qquad H_{z}=3.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais que aparecem nas fórmulas.
Primeiro, as que envolvem z e \varphi:
\frac{\partial H_{z}}{\partial \varphi}= \frac{\partial}{\partial \varphi}(3)=0, \qquad \frac{\partial H_{\varphi}}{\partial z}= \frac{\partial}{\partial z}(-4\rho\sin\varphi)=0
(ambas nulas porque H_{z} é constante e H_{\varphi} não depende de z).
Agora as outras:
\frac{\partial H_{\rho}}{\partial z}= \frac{\partial}{\partial z}(2\rho\cos\varphi)=0
(sem dependência de z),
\frac{\partial H_{z}}{\partial \rho}= \frac{\partial}{\partial \rho}(3)=0.
Calcular os termos para a componente z:
\rho H_{\varphi}=\rho\cdot(-4\rho\sin\varphi)=-4\rho^{2}\sin\varphi,
\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho H_{\varphi})=\frac{\partial}{\partial \rho}(-4\rho^{2}\sin\varphi)=-8\rho\sin\varphi,
\frac{\partial H_{\rho}}{\partial \varphi}=\frac{\partial}{\partial \varphi}(2\rho\cos\varphi)=2\rho(-\sin\varphi)=-2\rho\sin\varphi.

Passo 5

Calcular cada componente do rotacional usando os resultados anteriores.
Componente radial:
(\nabla\times\mathbf H)_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial H_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial H_{\varphi}}{\partial z} =\frac{1}{\rho}\cdot 0 - 0 = 0.
Componente azimutal:
(\nabla\times\mathbf H)_{\varphi}=\frac{\partial H_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial \rho} =0-0=0.
Componente axial:
(\nabla\times\mathbf H)_{z}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho H_{\varphi})-\frac{\partial H_{\rho}}{\partial \varphi}\right) =\frac{1}{\rho}\left(-8\rho\sin\varphi - (-2\rho\sin\varphi)\right).
Simplificando o interior:
-8\rho\sin\varphi - (-2\rho\sin\varphi) = -8\rho\sin\varphi +2\rho\sin\varphi = -6\rho\sin\varphi.
Dividindo por \rho:
(\nabla\times\mathbf H)_{z}=\frac{-6\rho\sin\varphi}{\rho}=-6\sin\varphi.

Passo 6

Montando o rotacional completo em coordenadas cilíndricas:
\vec{\nabla}\times\overrightarrow{\mathrm{H}}=0\cdot\overrightarrow{\mathrm{a}}_{\rho}+0\cdot\overrightarrow{\mathrm{a}}_{\varphi}+(-6\sin\varphi)\,\overrightarrow{\mathrm{a}}_{z} =-6\sin\varphi\,\overrightarrow{\mathrm{a}}_{z}.
Comentário rápido e encorajador: deu só componente em z, porque as dependências e cancelamentos nas derivadas eliminaram as outras componentes — resultado simples e direto, ótimo em prova!

Resposta

-6\sin\varphi\,\overrightarrow{\mathrm{a}}_{z}

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