Expresse na forma a+ib
a) e^1+5 pi6 e^-1-pi3 i

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expressar a expressão na forma . Isso envolve trabalhar com números complexos e exponenciais, então vamos precisar usar as propriedades dos números complexos e a fórmula de Euler para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão multiplicando os dois expoentes, já que a base é a mesma (e). Lembre-se que e^1+5pi6 cdot e^-1-pi3i = e^(1+5pi6 -1 -pi3i) = e^(5pi6 - pi3i) . Então:

Passo 3

Agora, vamos separar a parte real e a parte imaginária do expoente:
5pi6 - pi3i = 5pi6 + (-pi3)i
Então, temos:
e^5pi6 - pi3i = e^5pi6 cdot e^-pi3i

Passo 4

Agora, vamos focar na parte complexa e^-pi3i = cos(-pi3) + isin(-pi3) . Para isso, usamos a fórmula de Euler, que diz que . Aplicando isso:

Passo 5

Sabemos que cos(-pi3) = cos(pi3) = 12 e sin(-pi3) = -sin(pi3) = -raiz32 . Então:
e^-pi3i = 12 - iraiz32
Portanto:

Passo 6

Agora, voltamos à expressão inteira:
e^5pi6 cdot (12 - iraiz32)
Vamos distribuir e^5pi62 - ie^5pi6raiz32 :

Passo 7

Assim, conseguimos separar a parte real e a parte imaginária, colocando a expressão na forma a = e^5pi62 :
b = -e^5pi6raiz32

Resposta

A expressão a + ib = e^5pi62 - ie^5pi6raiz32 na forma é:

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