Expresse \frac{d y}{d x} em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável, dada implicitamente pela equação abaixo.
y^{2}=x

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y^{2} = x
e pede para encontrarmos \frac{dy}{dx} em termos de x e y. O método é a diferenciação implícita: ao derivar termos com y, usamos a regra da cadeia porque y depende de x.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
  • Para o lado esquerdo, \frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y \cdot \frac{dy}{dx} (regra da potência e cadeia).
  • Para o lado direito, \frac{d}{dx}(x) = 1.
    Logo, ficamos com
2y \,\frac{dy}{dx} = 1.

Passo 3

Para isolar \frac{dy}{dx}, basta dividir ambos os lados por 2y:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}.

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