Expresse \frac{d y}{d x} em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável, dada implicitamente pela equação abaixo.
x^{2}+2 y^{2}=9

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
x^{2} + 2\,y^{2} = 9
e pede \tfrac{dy}{dx} em função de x e y. O conteúdo principal é derivação implícita, usando a regra da cadeia para derivar y em função de x.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Para \tfrac{d}{dx}(x^{2}) aplicamos a regra de potência; para \tfrac{d}{dx}(2y^{2}) usamos a constante 2 e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(2\,y^{2}) = \frac{d}{dx}(9)
2x + 2\cdot 2y\,\frac{dy}{dx} = 0
2x + 4y\,\frac{dy}{dx} = 0

Passo 3

Isolamos \tfrac{dy}{dx}:
4y\,\frac{dy}{dx} = -2x
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{4y} = -\frac{x}{2y}

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2y}

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