Expresse a função f(x) = (x - 1)^3 * e^x em série de potências de x - 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer expressar a função em uma série de potências centrada em . Isso significa que vamos expandir essa função em termos de . Para fazer isso, vamos usar conceitos de Séries de Potências e Série de Taylor, que nos ajudam a escrever funções como somas infinitas de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a parte exponencial da função de uma forma que facilite a expansão em torno de . Podemos fazer isso assim:
Aqui, separei em , o que vai nos ajudar a expandir em termos de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de Taylor para em torno de :
Nesse caso, nosso é . Então, substituindo, temos:

Passo 4

Agora, vamos juntar as peças. Lembrando que , substituímos a série que acabamos de encontrar:

Passo 5

A função que queremos expandir é . Vamos substituir a expressão para que encontramos:
Podemos arrumar isso como:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão combinando os termos de :
Se quisermos, podemos reindexar a soma começando de :

Resposta

A série de potências de centrada em é:
Ou, reindexando a soma:

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