Expresse como uma série de potências centrada em zero as seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Pede-se: expressar como série de potências centrada em zero a função
- Informações disponíveis no enunciado:
- A função no numerador é
. - Há uma divisão por
, então precisamos checar o comportamento em (possível singular removível). - Vamos trabalhar com séries em torno de
(séries de Maclaurin / séries de potências centradas em zero).
- A função no numerador é
Passo 2
Lembrando as séries de Maclaurin que vamos usar (aqui explico didaticamente).
- A série de Maclaurin da exponencial é, para qualquer variável
,
Isto significa que
é escrita como soma infinita de potências de
, com coeficientes
. A convergência desta série é para todo
(raio de convergência infinito).
- A série de Maclaurin do cosseno é
Note que só aparecem potências pares
. Essa série também converge para todo
.
- Aplicação prática para nosso caso: na série de
tomamos , obtendo
Expliquei: substituímos
por
, então cada
vira
.
Passo 3
Somar as séries e eliminar a constante.
- Escrevendo as duas séries explicitamente:
- Somando e subtraindo
(que é , os termos constantes de e de ):
- Observação importante (útil na prova): os termos constantes (
e ) são e ; ao subtrair eles se cancelam. Logo não há termo constante no numerador: o menor expoente de que resta é . Portanto o numerador é divisível por como série de potências, o que permite dividir termo a termo por .
Passo 4
Escrever a série do numerador só com potências a partir de
e dividir por
termo a termo.
- Depois de cancelar os termos constantes, podemos juntar os somatórios (tanto usam potências
). Usando um único índice :
Expliquei: para
somamos o termo vindo de
(que é
) e o termo vindo de
(que é
).
- Agora dividimos por
. Como o menor expoente no numerador é , a divisão termo a termo é válida e dá:
Passo 5
Reindexar para escrever a série começando em
(forma habitual) e dar os primeiros termos explícitos (útil em prova).
- Faço a mudança de índice
. Então e . A série fica
Expliquei: agora a série está em potências
começando por
, ou seja por
,
,
, …
-
Vamos calcular os primeiros coeficientes para deixar mais concreto (isso ajuda na hora da prova):
- Para
: coeficiente é . - Para
: coeficiente é . - Para
: coeficiente é .
- Para
-
Assim, os primeiros termos da série são
Passo 6
Comentários finais úteis para a prova: convergência e valor em
.
-
Raio de convergência: tanto
quanto têm séries de raio infinito, logo a série resultante também converge para todo (raio de convergência infinito). -
Valor em
: pelo desenvolvimento em série vemos que tem termo constante , portanto o limite (ou extensão analítica) em é . Em outras palavras, a singularidade em é removível e o valor removido é .