Expresse como uma série de potências centrada em zero as seguintes funções:
f(x)=\frac{e^{x^{2}}+\cos x-2}{x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se: expressar como série de potências centrada em zero a função
f(x)=\frac{e^{x^{2}}+\cos x-2}{x^{2}}.
  • Informações disponíveis no enunciado:
    • A função no numerador é e^{x^{2}}+\cos x-2.
    • Há uma divisão por x^{2}, então precisamos checar o comportamento em x=0 (possível singular removível).
    • Vamos trabalhar com séries em torno de x=0 (séries de Maclaurin / séries de potências centradas em zero).

Passo 2

Lembrando as séries de Maclaurin que vamos usar (aqui explico didaticamente).
  • A série de Maclaurin da exponencial é, para qualquer variável t,
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}.
Isto significa que e^{t} é escrita como soma infinita de potências de t, com coeficientes \frac{1}{n!}. A convergência desta série é para todo t (raio de convergência infinito).
  • A série de Maclaurin do cosseno é
\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}.
Note que só aparecem potências pares x^{2k}. Essa série também converge para todo x.
  • Aplicação prática para nosso caso: na série de e^{t} tomamos t=x^{2}, obtendo
e^{x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}.
Expliquei: substituímos t por x^{2}, então cada t^{n} vira x^{2n}.

Passo 3

Somar as séries e eliminar a constante.
  • Escrevendo as duas séries explicitamente:
e^{x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}, \qquad \cos x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}.
  • Somando e subtraindo 2 (que é 1+1, os termos constantes de e^{x^{2}} e de \cos x):
e^{x^{2}}+\cos x-2 =\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}\right) +\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}\right) -2.
  • Observação importante (útil na prova): os termos constantes ( n=0 e k=0) são 1 e 1; ao subtrair 2 eles se cancelam. Logo não há termo constante no numerador: o menor expoente de x que resta é x^{2}. Portanto o numerador é divisível por x^{2} como série de potências, o que permite dividir termo a termo por x^{2}.

Passo 4

Escrever a série do numerador só com potências a partir de x^{2} e dividir por x^{2} termo a termo.
  • Depois de cancelar os termos constantes, podemos juntar os somatórios (tanto usam potências x^{2m}). Usando um único índice m\ge 1:
e^{x^{2}}+\cos x-2=\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{1}{m!}+\frac{(-1)^{m}}{(2m)!}\right)x^{2m}.
Expliquei: para m\ge1 somamos o termo vindo de e^{x^{2}} (que é x^{2m}/m!) e o termo vindo de \cos x (que é (-1)^{m}x^{2m}/(2m)!).
  • Agora dividimos por x^{2}. Como o menor expoente no numerador é x^{2}, a divisão termo a termo é válida e dá:
f(x)=\frac{e^{x^{2}}+\cos x-2}{x^{2}} =\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{1}{m!}+\frac{(-1)^{m}}{(2m)!}\right)x^{2m-2}.

Passo 5

Reindexar para escrever a série começando em n=0 (forma habitual) e dar os primeiros termos explícitos (útil em prova).
  • Faço a mudança de índice n=m-1. Então m=n+1 e 2m-2=2n. A série fica
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{(n+1)!}+\frac{(-1)^{\,n+1}}{(2(n+1))!}\right)x^{2n}.
Expliquei: agora a série está em potências x^{2n} começando por n=0, ou seja por x^{0}, x^{2}, x^{4}, …
  • Vamos calcular os primeiros coeficientes para deixar mais concreto (isso ajuda na hora da prova):
    • Para n=0: coeficiente é \frac{1}{1!}+\frac{(-1)^{1}}{2!}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
    • Para n=1: coeficiente é \frac{1}{2!}+\frac{(-1)^{2}}{4!}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{24}=\tfrac{13}{24}.
    • Para n=2: coeficiente é \frac{1}{3!}+\frac{(-1)^{3}}{6!}=\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{720}=\tfrac{119}{720}.
  • Assim, os primeiros termos da série são
f(x)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{13}{24}x^{2}+\tfrac{119}{720}x^{4}+\cdots

Passo 6

Comentários finais úteis para a prova: convergência e valor em x=0.
  • Raio de convergência: tanto e^{x^{2}} quanto \cos x têm séries de raio infinito, logo a série resultante também converge para todo x\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito).
  • Valor em x=0: pelo desenvolvimento em série vemos que f tem termo constante \tfrac{1}{2}, portanto o limite (ou extensão analítica) em x=0 é \lim_{x\to0}f(x)=\tfrac{1}{2}. Em outras palavras, a singularidade em 0 é removível e o valor removido é \tfrac{1}{2}.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{(n+1)!}+\frac{(-1)^{\,n+1}}{(2(n+1))!}\right)x^{2n}
\text{ou, explicitamente, }f(x)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{13}{24}x^{2}+\tfrac{119}{720}x^{4}+\cdots

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