1. Expresse a taxa de crescimento do volume V de uma esfera, relativamente à superfície S, em função do raio r da esfera. Faça o mesmo para o raio, relativamente ao volume.

Passo 1

O enunciado nos dá as expressões do volume e da superfície de uma esfera em função do raio r:
V=\frac{4}{3}\pi r^3,\quad S=4\pi r^2.
Precisamos encontrar a taxa de crescimento de V em relação a S, isto é \frac{dV}{dS} em função de r, e em seguida a taxa de crescimento do raio em relação ao volume, isto é \frac{dr}{dV}.

Passo 2

Primeiro, derivamos V e S em relação a r:
\frac{dV}{dr}=4\pi r^2, \qquad \frac{dS}{dr}=8\pi r.
Usando a regra da cadeia na forma invertida, obtemos
\frac{dV}{dS} =\frac{\frac{dV}{dr}}{\frac{dS}{dr}} =\frac{4\pi r^2}{8\pi r} =\frac{r}{2}.

Passo 3

Para achar \frac{dr}{dV} basta inverter \frac{dV}{dr}, pois
\frac{dr}{dV} =\biggl(\frac{dV}{dr}\biggr)^{-1} =\frac{1}{4\pi r^2}.

Resposta

\frac{dV}{dS}=\frac{r}{2}, \quad \frac{dr}{dV}=\frac{1}{4\pi r^2}.

Exercícios relacionados