Exprimir cada uma das tensões a seguir em notação de fasores e representar cada uma num diagrama de fasores:
v_{1}=212 \operatorname{sen}\left(w t+45^{\circ}\right) ; v_{2}=141,4 \operatorname{sen}\left(w t-90^{\circ}\right) ; v_{3}=141,4 \operatorname{sen}\left(w t+180^{\circ}\right).

Passo 1

O enunciado dá três tensões no tempo e pede duas coisas para cada uma: (a) expressar em notação de fasores e (b) representar cada uma num diagrama de fasores. As informações fornecidas são:
v_{1}=212\\ \operatorname{sen}\!\big(\omega t+45^{\circ}\big),
v_{2}=141,4\\ \operatorname{sen}\!\big(\omega t-90^{\circ}\big),
v_{3}=141,4\\ \operatorname{sen}\!\big(\omega t+180^{\circ}\big).
As perguntas claras: obter o fasor correspondente a cada v_i e indicar onde cada fasor fica no plano complexo (diagrama de fasores).

Passo 2

Conceito-prático rápido (a aula curtinha antes da resolução): o que é um fasor?
Um fasor representa uma senóide de frequência fixa por sua amplitude e ângulo de fase, como um número complexo ou em forma polar. Por convenção prática de muitos exercícios, usamos a referência em termos de cosseno. Ou seja, para transformar uma senóide em fasor fazemos primeiro a mudança para cosseno porque
\sin\!\big(\omega t+\theta\big)=\cos\!\big(\omega t+\theta-90^{\circ}\big).
Assim, se tivermos \;v(t)=A\sin(\omega t+\theta)\; então o fasor (forma de pico) é
\tilde{V}=A\angle\big(\theta-90^{\circ}\big).
Observação sobre amplitude: aqui vou manter o fasor na forma de amplitude de pico (não converti para RMS), porque o enunciado não pediu RMS. Se fosse necessário RMS, dividiríamos a amplitude por \sqrt{2}.

Passo 3

Como transformar de forma polar para retangular (útil para desenhar): dados A\angle\varphi,
A\angle\varphi = A\big(\cos\varphi + j\sin\varphi\big).
No plano complexo (diagrama de fasores), a parte real é o eixo horizontal e a parte imaginária é o eixo vertical. A seta parte da origem até as coordenadas (\Re,\Im).

Passo 4

Converter v_{1}.
Primeiro usar a fórmula do Passo 2:
v_{1}=212\sin(\omega t+45^{\circ}) \Rightarrow \tilde{V}_{1}=212\angle(45^{\circ}-90^{\circ})=212\angle(-45^{\circ}).
Agora calcular a forma retangular para plotar. Sabemos que \cos(-45^{\circ})=\sin(-45^{\circ})=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}. Então
\tilde{V}_{1}=212\big(\cos(-45^{\circ})+j\sin(-45^{\circ})\big)=212\Big(\frac{\sqrt{2}}{2}-j\frac{\sqrt{2}}{2}\Big).
Calculemos numericamente \frac{212}{\sqrt{2}}=150 (exatamente, pois 212/\sqrt{2}=150). Portanto
\tilde{V}_{1}=150 - j150.
Interpretação para o diagrama: o fasor tem módulo 212, ângulo -45^{\circ} (ou 315°) e coordenadas cartesianas (150,\,-150). No plano, a seta aponta para o quarto quadrante, formando -45^{\circ} com o eixo real positivo.

Passo 5

Converter v_{2}.
Aplicando a regra:
v_{2}=141{,}4\sin(\omega t-90^{\circ}) \Rightarrow \tilde{V}_{2}=141{,}4\angle(-90^{\circ}-90^{\circ})=141{,}4\angle(-180^{\circ}).
Ângulo -180^{\circ} é o mesmo que 180^{\circ}. Em forma retangular:
\tilde{V}_{2}=141{,}4\big(\cos(-180^{\circ})+j\sin(-180^{\circ})\big)=141{,}4(-1+ j0)=-141{,}4 + j0.
Interpretação para o diagrama: módulo 141{,}4, ângulo 180^{\circ} (apontando para a esquerda), coordenadas (-141{,}4,\;0).

Passo 6

Converter v_{3}.
Aplicando a regra:
v_{3}=141{,}4\sin(\omega t+180^{\circ}) \Rightarrow \tilde{V}_{3}=141{,}4\angle(180^{\circ}-90^{\circ})=141{,}4\angle(90^{\circ}).
Em forma retangular:
\tilde{V}_{3}=141{,}4\big(\cos 90^{\circ}+j\sin 90^{\circ}\big)=141{,}4(0 + j1)=j141{,}4.
Interpretação para o diagrama: módulo 141{,}4, ângulo 90^{\circ} (apontando para cima), coordenadas (0,\;141{,}4).

Passo 7

Como desenhar o diagrama de fasores (passo-a-passo prático para a prova):
  • Desenhe um plano com eixo horizontal (real) e eixo vertical (imaginário, positivo para cima).
  • Para \tilde{V}_{1}: desenhe uma seta da origem até o ponto (150,\,-150). Marque magnitude 212 e ângulo -45^{\circ}.
  • Para \tilde{V}_{2}: desenhe uma seta da origem até (-141{,}4,\,0). Marque magnitude 141{,}4 e ângulo 180^{\circ}.
  • Para \tilde{V}_{3}: desenhe uma seta da origem até (0,\,141{,}4). Marque magnitude 141{,}4 e ângulo 90^{\circ}.
  • Use cores diferentes ou setas separadas e indique as coordenadas ao lado de cada ponta para ficar claro no gabarito.

Resposta

\tilde{V}_{1}=212\angle(-45^{\circ})=150 - j150
\tilde{V}_{2}=141{,}4\angle(-180^{\circ})=-141{,}4 + j0
\tilde{V}_{3}=141{,}4\angle(90^{\circ})=j141{,}4

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