Cap 14*
Imagine que o resistor acima tem 220 Ohms e o Capacitor tem 100nF
Calcule:
A função transferência, H(s)=\frac{V o(s)}{V i(s)} e seu módulo em função da frequência (ganho) |H(j \omega)| substituindo o s pelo \omega e fazendo o módulo.
Em seguida determine Vout (ignorando a fase) para o Vi de 10 V com frequências:
0hz
10hz
1000 hz
10000 hz

Passo 1

O enunciado dá um circuito com um amplificador operacional ideal em configuração com realimentação por um capacitor C e um resistor R na entrada. Os valores são:
R=220\\ \Omega,\qquad C=100\\ \text{nF}=100\times10^{-9}\\ \text{F}.
Pede-se:
  • A função de transferência H(s)=\dfrac{V_o(s)}{V_i(s)}.
  • O módulo da resposta em função da frequência |H(j\omega)|.
  • Os valores de V_{out} (ignorando fase) para V_i=10\\ \text{V} e frequências f=0,\\\ 10,\\\ 1000,\\\ 10000\\ \text{Hz}.

Passo 2

Vamos usar o modelo de amplificador operacional ideal em realimentação negativa: a tensão no terminal não inversor ( +) está em 0 (referência) e, devido à alta malha aberta do amp-op, o terminal inversor ( -) fica em potencial virtual igual a 0 (virtual ground). Isso significa que o nó entre R e o capacitor tem tensão aproximadamente 0.

Passo 3

Escrevendo as impedâncias no domínio de Laplace:
Z_R = R,\qquad Z_C = \frac{1}{sC}.
Pelo nó do terminal inversor (tensão V_-=0) aplicamos a lei das correntes: corrente que vem de V_i através de R é igual à corrente que vai para V_o através do capacitor. Em termos de s:
\frac{V_i-0}{R} = \frac{0-V_o}{1/(sC)}.

Passo 4

Desenvolvendo a equação do Passo 3:
\frac{V_i}{R} = -sC\,V_o.
Isolando \dfrac{V_o}{V_i} obtemos a função de transferência:
H(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)} = -\frac{1}{sRC}.
Aqui cada símbolo significa:
  • s é a variável complexa de Laplace ( s=\sigma + j\omega),
  • R é a resistência,
  • C é a capacitância.

Passo 5

Substituindo s=j\omega para analisar em regime senoidal steady-state:
H(j\omega) = -\frac{1}{j\omega RC}.
O módulo (ganho) é o módulo dessa expressão (ignorando a fase de -1/j):
|H(j\omega)| = \frac{1}{\omega R C}.
Observação prática: a fase é -90^\circ mais um sinal de inversão ( 180^\circ), totalizando -90^\circ - 180^\circ = -270^\circ equivalente a +90^\circ ou simplesmente que existe mudança de fase; como foi pedido ignorar fase, usamos só o módulo.

Passo 6

Vamos calcular RC com os valores dados:
RC = 220\cdot 100\times10^{-9} = 22\times10^{-6}\\ \text{s}=22\\ \mu\text{s}.

Passo 7

Expressão prática do módulo em função de frequência em Hz ( f, com \omega=2\pi f):
|H(j\omega)|=\frac{1}{\omega RC}=\frac{1}{2\pi f R C}.
Calculamos o fator \dfrac{1}{2\pi R C}:
2\pi R C = 2\pi\cdot22\times10^{-6}=1{,}3823\times10^{-4},
\frac{1}{2\pi R C} \approx 7{,}22918\times10^{3}.
Portanto
|H(j\omega)| \approx \frac{7{,}22918\times10^{3}}{f}\quad\text{(com \(f\) em Hz)}.

Passo 8

O valor da tensão de saída (magnitude, ignorando fase) para uma entrada senoidal de amplitude V_i é:
|V_o| = |H(j\omega)|\cdot |V_i| = \frac{|V_i|}{2\pi f R C}.
Com V_i=10\\ \text{V}:
|V_o(f)| = 10\cdot\frac{1}{2\pi f R C}.

Passo 9

Cálculos numéricos ponto a ponto:
Para f=0\\ \text{Hz} ( \omega=0): matematicamente
|H(j0)|=\frac{1}{0} \to \infty,
ou seja, o ganho tende ao infinito e o circuito não tem realimentação para DC (capacitor em circuito aberto), portanto o amp-op tende a saturar na prática. Logo V_o não é definido (satura nos limites de alimentação).
Para f=10\\ \text{Hz}:
|H|=\frac{1}{2\pi\cdot10\cdot22\times10^{-6}}\approx 722{,}9183,
|V_o|=10\cdot 722{,}9183 \approx 7{,}229{,}18\times10^{3}\\ \text{V}\\ (\text{valor teórico}).ó
Para f=1000\\ \text{Hz}:
|H|=\frac{1}{2\pi\cdot1000\cdot22\times10^{-6}}\approx 7{,}22918,
|V_o|=10\cdot 7{,}22918 \approx 72{,}2918\\ \text{V}.
Para f=10000\\ \text{Hz}:
|H|=\frac{1}{2\pi\cdot10000\cdot22\times10^{-6}}\approx 0{,}722918,
|V_o|=10\cdot 0{,}722918 \approx 7{,}22918\\ \text{V}.

Passo 10

Interpretações práticas e incentivo: os valores obtidos para baixas frequências (especialmente f=0 e f=10 Hz) são enormes e fisicamente irreais porque supõem um amplificador ideal sem limite de saída. Na prática o amplificador saturaria limitando V_o pela tensão de alimentação. Para frequências maiores (kHz) os valores ficam em faixas plausíveis. Segue a resposta final resumida abaixo — confia, você já entendeu o processo: virtual ground, impedância do capacitor, montar a equação do nó e isolar V_o/V_i.

Resposta

H(s)=-\dfrac{1}{sRC}=-\dfrac{1}{s\cdot 220\cdot 100\times10^{-9}}\n
|H(j\omega)|=\dfrac{1}{\omega RC}=\dfrac{1}{2\pi f R C}\n
V_{out}(f=0\\ \text{Hz})\to\text{indefinido (ganho }\to\infty\text{), saturação prática}çãá\n
V_{out}(f=10\\ \text{Hz})\approx 7{,}229\times10^{3}\\ \text{V}\n
V_{out}(f=1000\\ \text{Hz})\approx 72{,}29\\ \text{V}\n
V_{out}(f=10000\\ \text{Hz})\approx 7{,}229\\ \text{V}

Exercícios relacionados