Exprimir em coordenadas esféricas os seguintes lugares geométricos:
o plano
.
o plano
Passo 1
O enunciado pede: “Exprimir em coordenadas esféricas os seguintes lugares geométricos: o plano
.”
Informações dadas e o que devemos obter:
Informações dadas e o que devemos obter:
- A superfície é o plano definido por
em coordenadas cartesianas . - Precisamos escrever a condição que caracteriza esse plano usando as coordenadas esféricas
(com as convenções que vamos explicitar no próximo passo).
Passo 2
Definimos claramente as coordenadas esféricas e as relações com as cartesianas (vou usar a convenção mais comum em problemas de geometria):
-
é a distância do ponto à origem (raio), com . -
é o ângulo polar, medido a partir do eixo , com . -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo para o eixo , com .
As fórmulas que ligam as coordenadas são:
Explico cada termo:
é a projeção do vetor posição no plano
;
e
repartem essa projeção nas direções
e
.
Passo 3
Agora substituímos
e
da fórmula acima na equação do plano
. A equação é
Substituindo:
Passo 4
Simplificamos a equação obtida. Podemos escrever
ou fatorando
:
Isto implica que pelo menos uma das três quantidades é zero:
-
(o ponto é a origem); ou -
(isto corresponde ao eixo , isto é pontos com ou ); ou -
, que é a condição não-trivial para pontos com .
Vamos tratar a terceira condição.
é equivalente a
As soluções de
no intervalo
são
Ou, de maneira mais curta,
.
Passo 5
Interpretação geométrica e união das condições:
- A condição
(com e qualquer ) descreve todas as direções no plano em sentido “diagonal” no plano . - A condição
descreve a mesma reta-direção mas na direção oposta (é o complemento de ), necessária para cobrir todo o plano (porque está no círculo de 0 a ). - Os casos
(origem) e (eixo ) são pontos que também satisfazem (no eixo , ), e eles estão incluídos se permitirmos ou nas expressões com fixo (em coordenadas esféricas a representação do eixo tem indeterminado, mas podemos escolher ou sem problema).
Portanto é natural e completo descrever o plano
em coordenadas esféricas como a união das direções azimutais
e
, com qualquer
e qualquer
.