Exprimir em coordenadas esféricas os seguintes lugares geométricos:
o plano y=x.

Passo 1

O enunciado pede: “Exprimir em coordenadas esféricas os seguintes lugares geométricos: o plano y=x.”
Informações dadas e o que devemos obter:
  • A superfície é o plano definido por y=x em coordenadas cartesianas (x,y,z).
  • Precisamos escrever a condição que caracteriza esse plano usando as coordenadas esféricas \rho,\theta,\varphi (com as convenções que vamos explicitar no próximo passo).

Passo 2

Definimos claramente as coordenadas esféricas e as relações com as cartesianas (vou usar a convenção mais comum em problemas de geometria):
  • \rho é a distância do ponto à origem (raio), com \rho\ge 0.
  • \theta é o ângulo polar, medido a partir do eixo z, com 0\le \theta\le \pi.
  • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x para o eixo y, com 0\le \varphi<2\pi.
As fórmulas que ligam as coordenadas são:
x=\rho\sin\theta\cos\varphi,
y=\rho\sin\theta\sin\varphi,
z=\rho\cos\theta.
Explico cada termo: \rho\sin\theta é a projeção do vetor posição no plano xy; \cos\varphi e \sin\varphi repartem essa projeção nas direções x e y.

Passo 3

Agora substituímos x e y da fórmula acima na equação do plano y=x. A equação é
y=x.
Substituindo:
\rho\sin\theta\sin\varphi=\rho\sin\theta\cos\varphi.

Passo 4

Simplificamos a equação obtida. Podemos escrever
\rho\sin\theta\sin\varphi-\rho\sin\theta\cos\varphi=0
ou fatorando \rho\sin\theta:
\rho\sin\theta\bigl(\sin\varphi-\cos\varphi\bigr)=0.
Isto implica que pelo menos uma das três quantidades é zero:
  1. \rho=0 (o ponto é a origem); ou
  2. \sin\theta=0 (isto corresponde ao eixo z, isto é pontos com \theta=0 ou \theta=\pi); ou
  3. \sin\varphi-\cos\varphi=0, que é a condição não-trivial para pontos com \rho\sin\theta\neq 0.
Vamos tratar a terceira condição. \sin\varphi-\cos\varphi=0 é equivalente a
\sin\varphi=\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi=1.
As soluções de \tan\varphi=1 no intervalo [0,2\pi) são
\varphi=\frac{\pi}{4}\quad\text{e}\quad \varphi=\frac{5\pi}{4}.
Ou, de maneira mais curta, \varphi\equiv \frac{\pi}{4}\pmod{\pi}.

Passo 5

Interpretação geométrica e união das condições:
  • A condição \varphi=\frac{\pi}{4} (com \rho\ge0 e qualquer \theta\in[0,\pi]) descreve todas as direções no plano y=x em sentido “diagonal” no plano xy.
  • A condição \varphi=\frac{5\pi}{4} descreve a mesma reta-direção mas na direção oposta (é o complemento de \pi), necessária para cobrir todo o plano (porque \varphi está no círculo de 0 a 2\pi).
  • Os casos \rho=0 (origem) e \sin\theta=0 (eixo z) são pontos que também satisfazem y=x (no eixo z, x=y=0), e eles estão incluídos se permitirmos \theta=0 ou \theta=\pi nas expressões com \varphi fixo (em coordenadas esféricas a representação do eixo z tem \varphi indeterminado, mas podemos escolher \varphi=\pi/4 ou \varphi=5\pi/4 sem problema).
Portanto é natural e completo descrever o plano y=x em coordenadas esféricas como a união das direções azimutais \varphi=\pi/4 e \varphi=5\pi/4, com qualquer \rho\ge0 e qualquer \theta\in[0,\pi].

Resposta

\displaystyle \{(\rho,\theta,\varphi)\mid \rho\ge 0,\\\ 0\le\theta\le\pi,\\ \varphi=\tfrac{\pi}{4}\\ \text{ou}\\ \varphi=\tfrac{5\pi}{4}\}