A extração líquido-líquido é um método de separação muito utilizado em laboratório de química orgânica e anteriormente muito utilizado em empresas farmacêuticas para quantificação de medicamentos. Em relação a este método, pergunta-se:
O coeficiente de partição para um certo composto orgânico \mathbf{X} é 7,5 num sistema que emprega éter de petróleo e água. A partir de 100 mL de uma solução aquosa, contendo 7,8 g deste composto, que volume de solvente você deveria usar para extrair 4,2 \mathrm{~g} do composto X? Deixe seus cálculos indicados.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: o volume de solvente orgânico (éter de petróleo) necessário para extrair 4,2\\ \mathrm{g} do composto X a partir de 100\\ \mathrm{mL} de solução aquosa que contém 7,8\\ \mathrm{g} de X.
  • Dados fornecidos:
    • Coeficiente de partição: K=7{,}5 (no sistema éter de petróleo / água).
    • Volume da fase aquosa: V_{\text{aq}}=100\\ \mathrm{mL}.
    • Massa inicial de X na fase aquosa: m_0=7{,}8\\ \mathrm{g}.
    • Massa que se quer extrair (passar para a fase orgânica): m_{\text{extraída}}=4{,}2\\ \mathrm{g}í.
  • Quantidade que ficará na fase aquosa após a extração (que usaremos nos cálculos): m_{\text{aq,final}}=m_0-m_{\text{extraída}}=7{,}8-4{,}2=3{,}6\\ \mathrm{g}í.

Passo 2

O que é o coeficiente de partição e como ele se relaciona com massas e volumes (aula curtinha e prática).
  • Definição: o coeficiente de partição K entre a fase orgânica (org) e a aquosa (aq) é a razão das concentrações na fase orgânica pela fase aquosa em equilíbrio:
K=\frac{C_{\text{org}}}{C_{\text{aq}}}.
  • Concentração é massa por volume. Se m_{\text{org}} é a massa de X na fase orgânica e m_{\text{aq}} a massa na fase aquosa, e V_{\text{org}}, V_{\text{aq}} os volumes das fases, então
C_{\text{org}}=\frac{m_{\text{org}}}{V_{\text{org}}},\qquad C_{\text{aq}}=\frac{m_{\text{aq}}}{V_{\text{aq}}}.
  • Substituindo na definição de K:
K=\frac{\dfrac{m_{\text{org}}}{V_{\text{org}}}}{\dfrac{m_{\text{aq}}}{V_{\text{aq}}}} =\frac{m_{\text{org}}}{m_{\text{aq}}}\cdot\frac{V_{\text{aq}}}{V_{\text{org}}}.
  • Essa relação permite escrever m_{\text{org}} em função de m_{\text{aq}}:
m_{\text{org}}=K\cdot\frac{V_{\text{org}}}{V_{\text{aq}}}\;m_{\text{aq}}.
  • Aplicando balanço de massa total (toda a massa está nas duas fases):
m_0=m_{\text{aq}}+m_{\text{org}}=m_{\text{aq}}\left(1+K\frac{V_{\text{org}}}{V_{\text{aq}}}\right).
  • Dessa igualdade isolamos m_{\text{aq}}, que é a fórmula útil para uma única extração com volumes dados:
m_{\text{aq}}=\frac{m_0}{1+K\frac{V_{\text{org}}}{V_{\text{aq}}}}.
Essa fórmula diz: quanto maior V_{\text{org}} (para mesmo K), menor será a massa que sobra na fase aquosa — ou seja, maior extração.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao problema (montando a equação para encontrar V_{\text{org}}).
  • Queremos que, após uma extração com volume V_{\text{org}} de éter, reste m_{\text{aq,final}}=3{,}6\\ \mathrm{g} na aquosa. Usando a fórmula:
3{,}6=\frac{7{,}8}{1+7{,}5\cdot\frac{V_{\text{org}}}{100}}.
(Na fórmula usei m_0=7{,}8, K=7{,}5 e V_{\text{aq}}=100\\ \mathrm{mL}.)

Passo 4

Resolver a equação passo a passo (álgebra limpa para fazer na prova).
  • Invertendo a fração:
1+7{,}5\cdot\frac{V_{\text{org}}}{100}=\frac{7{,}8}{3{,}6}.
  • Calcular a razão no lado direito sem calculadora: \dfrac{7{,}8}{3{,}6}=\dfrac{78}{36}. Simplificando dividindo por 6:
\dfrac{78}{36}=\dfrac{13}{6}.
  • Portanto
7{,}5\cdot\frac{V_{\text{org}}}{100}=\frac{13}{6}-1=\frac{7}{6}.
  • Isolando V_{\text{org}}:
\frac{V_{\text{org}}}{100}=\frac{1}{7{,}5}\cdot\frac{7}{6}.
  • Multiplicando ambos os lados por 100:
V_{\text{org}}=100\cdot\frac{1}{7{,}5}\cdot\frac{7}{6}.

Passo 5

Fazendo as operações racionais (para conseguir um valor exato e a aproximação decimal).
  • Escrevendo 7{,}5 como fração: 7{,}5=\dfrac{15}{2}. Então
\frac{1}{7{,}5}=\frac{2}{15}.
  • Substituindo:
V_{\text{org}}=100\cdot\frac{2}{15}\cdot\frac{7}{6}.
  • Simplificando passo a passo:
100\cdot\frac{2}{15}=\frac{200}{15}=\frac{40}{3},
portanto
V_{\text{org}}=\frac{40}{3}\cdot\frac{7}{6}=\frac{280}{18}=\frac{140}{9}\\ \text{mL}.
  • Avaliando a fração:
\frac{140}{9}\approx 15{,}555\ldots\\ \text{mL}\approx 15{,}56\\ \text{mL}.

Passo 6

Interpretação final curta e dica amiga.
  • Resultado: é preciso cerca de 15{,}6\\ \mathrm{mL} de éter de petróleo para extrair exatamente 4{,}2\\ \mathrm{g} em uma única extração, assumindo que o sistema atinge equilíbrio e que K=7{,}5 é válido.
  • Dica prática (não pedida, mas útil): em laboratório costuma-se preferir várias extrações com volumes menores do que uma só extração com volume grande, porque a eficiência cumulativa pode ser melhor. Mas aqui o cálculo foi feito para uma única extração, que é o que o enunciado exige.

Resposta

\dfrac{140}{9}\\ \text{mL} \approx 15{,}56\\ \text{mL}

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