Se f e g são invertíveis então:
f+g é invertível?

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas aplicações (ou operadores lineares, ou matrizes) f e g que são invertíveis, a aplicação soma f+g também é necessariamente invertível. O conteúdo aqui é compreensão de invertibilidade e contraposições via exemplos.

Passo 2

Relembrando o conceito: uma aplicação h é invertível se existe uma aplicação h^{-1} tal que
h^{-1}\circ h = \mathrm{id} \quad\text{e}\quad h\circ h^{-1} = \mathrm{id}.
Para a soma f+g ser invertível, precisaríamos encontrar uma inversa (f+g)^{-1} que satisfaça o mesmo, o que em geral é muito mais restrito do que a invertibilidade isolada de f e de g.

Passo 3

Mostramos que nem sempre f+g é invertível através de um contraexemplo simples no caso de funções de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Definimos
f(x) = x, \quad g(x) = -x.
Cada uma é claramente bijetora (logo invertível), pois
f^{-1}(x)=x, \quad g^{-1}(x)=-x.
Porém
(f+g)(x) = f(x)+g(x) = x + (-x) = 0,
que é a função constante zero. Essa função não é injetiva (tudo mapeia em 0) e, portanto, não é invertível.

Resposta

Não. Mesmo que f e g sejam invertíveis, f+g pode deixar de ser invertível (por exemplo, f(x)=x e g(x)=-x levam a f+g=0, que não é invertível).

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