Se f: \Re^{2} \rightarrow \Re^{3} é linear e u=(1,2), v=(-1,3), f(u)=(2,-1,-2) e f(v)=(-2,-4,-3) calcule:
f(u+v)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função f: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} é linear.
  • O vetor u vale u=(1,2).
  • O vetor v vale v=(-1,3).
  • Foi informado que f(u)=(2,-1,-2).
  • Foi informado que f(v)=(-2,-4,-3).
O que o exercício pede: calcular f(u+v).

Passo 2

Relembrando o que significa uma aplicação linear — isto é a propriedade que vamos usar: para todo x,y\in\mathbb{R}^2 e quaisquer escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} vale
f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y).
Aqui cada símbolo significa:
  • f é a aplicação linear.
  • x,y são vetores do domínio \mathbb{R}^2.
  • \alpha,\beta são números reais (escalars).
  • O lado direito \alpha f(x)+\beta f(y) é a combinação linear das imagens.
Um caso simples dessa propriedade é quando \alpha=\beta=1, que dá f(x+y)=f(x)+f(y). É essa igualdade que vamos aplicar ao par u,v.

Passo 3

Aplicando a propriedade de aditividade (caso \alpha=\beta=1) com x=u e y=v, obtemos
f(u+v)=f(u)+f(v).

Passo 4

Pegando os valores que o enunciado nos deu para f(u) e f(v):
f(u)=(2,-1,-2), \qquad f(v)=(-2,-4,-3).

Passo 5

Agora somamos componente a componente para obter f(u)+f(v).
  • Primeira componente: 2 + (-2) = 0.
  • Segunda componente: -1 + (-4) = -5.
  • Terceira componente: -2 + (-3) = -5.

Passo 6

Portanto, pela igualdade de aditividade, f(u+v)=f(u)+f(v) e os cálculos das componentes nos dão o vetor final.

Resposta

(0,-5,-5)