Se
é uma função par, mostre que a função
é uma função par e
é uma função ímpar. Nesse caso, valem as fórmulas:
Deduza resultados análogos admitindo que
seja uma função ímpar.
Passo 1
O enunciado considera uma função
que é par, isto é, satisfaz
Queremos mostrar que
-
é par e é ímpar; - daí decorrem as fórmulas
Em seguida, vamos deduzir resultados análogos para o caso em que
é ímpar.
Passo 2
Recordando as paridades básicas:
é função par, pois
e
é função ímpar, pois
Também
é par por hipótese:
Passo 3
Mostramos a paridade dos produtos:
- Para
, avaliando em :
logo
é par.
2) Para , avaliando em
:
2) Para
logo
é ímpar.
Passo 4
Usamos agora a propriedade de integrais em intervalos simétricos:
- Se
é par, então
- Se
é ímpar, então
Como
é par, segue
Como
é ímpar, segue
Passo 5
Agora suponha que
seja ímpar, isto é,
. Repetindo o mesmo raciocínio:
-
é produto de ímpar por par, logo é ímpar, e sua integral de a é zero. -
é produto de ímpar por ímpar, logo é par, e sua integral de a vale o dobro da integral de a .
Resposta
Se
é par:
Se
é ímpar: