Se f:[-T, T] \rightarrow \mathbb{R} é uma função par, mostre que a função f(x) \cos n x é uma função par e f(x) \operatorname{sen} n x é uma função ímpar. Nesse caso, valem as fórmulas:
\int_{-T}^{T} f(x) \cos n x d x=2 \int_{0}^{T} f(x) \cos n x d x \quad \text { e } \quad \int_{-T}^{T} f(x) \operatorname{sen} n x d x=0
Deduza resultados análogos admitindo que f seja uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado considera uma função f:[-T,T]\to\mathbb{R} que é par, isto é, satisfaz
f(-x)=f(x)\quad\forall x\in[-T,T].
Queremos mostrar que
  1. f(x)\cos(nx) é par e f(x)\sin(nx) é ímpar;
  2. daí decorrem as fórmulas
\int_{-T}^{T}f(x)\cos(nx)\,dx=2\int_{0}^{T}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad \int_{-T}^{T}f(x)\sin(nx)\,dx=0.
Em seguida, vamos deduzir resultados análogos para o caso em que f é ímpar.

Passo 2

Recordando as paridades básicas: \,\cos(nx) é função par, pois
\cos\bigl(n(-x)\bigr)=\cos(-nx)=\cos(nx),
e \sin(nx) é função ímpar, pois
\sin\bigl(n(-x)\bigr)=\sin(-nx)=-\sin(nx).
Também f é par por hipótese:
f(-x)=f(x).

Passo 3

Mostramos a paridade dos produtos:
  1. Para f(x)\cos(nx), avaliando em -x:
f(-x)\,\cos\bigl(n(-x)\bigr) = f(x)\,\cos(nx),
logo f(x)\cos(nx) é par.
2) Para f(x)\sin(nx), avaliando em -x:
f(-x)\,\sin\bigl(n(-x)\bigr) = f(x)\,\bigl(-\sin(nx)\bigr) = -\bigl(f(x)\sin(nx)\bigr),
logo f(x)\sin(nx) é ímpar.

Passo 4

Usamos agora a propriedade de integrais em intervalos simétricos:
  • Se g é par, então
\int_{-T}^{T}g(x)\,dx = 2\int_{0}^{T}g(x)\,dx.
  • Se g é ímpar, então
\int_{-T}^{T}g(x)\,dx = 0.
Como f(x)\cos(nx) é par, segue
\int_{-T}^{T}f(x)\cos(nx)\,dx =2\int_{0}^{T}f(x)\cos(nx)\,dx.
Como f(x)\sin(nx) é ímpar, segue
\int_{-T}^{T}f(x)\sin(nx)\,dx = 0.

Passo 5

Agora suponha que f seja ímpar, isto é, f(-x)=-f(x). Repetindo o mesmo raciocínio:
  • f(x)\cos(nx) é produto de ímpar por par, logo é ímpar, e sua integral de -T a T é zero.
  • f(x)\sin(nx) é produto de ímpar por ímpar, logo é par, e sua integral de -T a T vale o dobro da integral de 0 a T.

Resposta

Se f é par:
\int_{-T}^{T}f(x)\cos(nx)\,dx=2\int_{0}^{T}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad \int_{-T}^{T}f(x)\sin(nx)\,dx=0.
Se f é ímpar:
\int_{-T}^{T}f(x)\cos(nx)\,dx=0, \quad \int_{-T}^{T}f(x)\sin(nx)\,dx =2\int_{0}^{T}f(x)\sin(nx)\,dx.

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