(Faap-SP) Dois sócios lucraram \mathrm{R} \ 5000,00 . O primeiro entrou para a sociedade com o capital de\mathrm{R} $18000,00 e o segundo com\mathrm{R} $ 23000,00 . Se os lucros de cada sócio são proporcionais aos capitais, a diferença entre os lucros foi de aproximadamente: a) \(\mathrm{R} \\) 509,00
b) \mathrm{R} \ 609,00$
c) \mathrm{R} \ 709,00$
d) \mathrm{R} \ 809,00$
e) R \ 1009,00$

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Lucro total: \mathrm{R}\$\,5000,00.
  • Capital do primeiro sócio: \mathrm{R}\$\,18000,00.
  • Capital do segundo sócio: \mathrm{R}\$\,23000,00.
O que o problema pede:
  • Calcular a diferença entre os lucros dos dois sócios, sabendo que os lucros são proporcionais aos capitais, e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Conceito usado (explicado de forma didática): quando dois sócios dividem um lucro proporcionalmente aos capitais, cada sócio recebe uma fração do lucro igual à razão entre o seu capital e o capital total. Formalmente, se L é o lucro total, C_1 e C_2 são os capitais, então o lucro do sócio 1 é
L_1 = L\cdot\frac{C_1}{C_1+C_2},
e o do sócio 2 é
L_2 = L\cdot\frac{C_2}{C_1+C_2}.
Aqui L é o valor total a ser dividido, C_1 e C_2 são os capitais investidos. A diferença entre os lucros será \Delta = |L_2-L_1|. Essa fórmula vem do fato simples de que as partes são frações do total proporcionais ao tamanho do capital.

Passo 3

Calcular o capital total:
C_1+C_2 = 18000+23000 = 41000.

Passo 4

Calcular o lucro do primeiro sócio usando a fórmula:
L_1 = 5000\cdot\frac{18000}{41000}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 1000:
L_1 = 5000\cdot\frac{18}{41} = \frac{90000}{41}.
Aproximando com duas casas decimais:
L_1 \approx 2195,12.

Passo 5

Calcular o lucro do segundo sócio:
L_2 = 5000\cdot\frac{23000}{41000} = 5000\cdot\frac{23}{41} = \frac{115000}{41}.
Aproximando com duas casas decimais:
L_2 \approx 2804,88.

Passo 6

Calcular a diferença entre os lucros. É mais simples calcular diretamente a diferença pela fração da diferença dos capitais:
\Delta = L_2-L_1 = 5000\cdot\frac{23000-18000}{41000} = 5000\cdot\frac{5000}{41000}.
Simplificando:
\Delta = 5000\cdot\frac{5}{41}=\frac{25000}{41}.
Aproximando com duas casas decimais:
\Delta \approx 609,76.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a diferença aproximada \mathrm{R}\$\,609,76 corresponde à alternativa (b) \mathrm{R}\$\,609,00 (é a opção mais próxima).

Resposta

b) \mathrm{R}\$\,609,76