(FAAP-SP) Simplificando a expressão \frac{a x^{2}-a y^{2}}{x^{2}-2 x y+y^{2}}, obtemos:
a) \frac{a}{x-y}
b) \frac{a(x+y)}{x-y}
c) \frac{x+y}{x-y}
d) a(x+y)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \dfrac{a x^{2}-a y^{2}}{x^{2}-2 x y+y^{2}} e escolhe entre as alternativas:
a) \dfrac{a}{x-y}
b) \dfrac{a(x+y)}{x-y}
c) \dfrac{x+y}{x-y}
d) a(x+y)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão a simplificar é \dfrac{a x^{2}-a y^{2}}{x^{2}-2 x y+y^{2}}.
  • Para que a expressão faça sentido (denominador não nulo) é necessário que x\neq y, porque x^{2}-2xy+y^{2}=0 quando x=y.

Passo 2

Vamos olhar para o numerador e reconhecer uma fórmula algébrica muito comum: a diferença de quadrados. A identidade geral é
u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v),
onde u e v são quaisquer expressões. Isso vale porque ao multiplicar (u-v)(u+v) obtém-se u^{2}+uv-uv-v^{2}=u^{2}-v^{2}. Exemplo simples: 5^{2}-3^{2}=(5-3)(5+3)=2\cdot8=16, que corresponde a 25-9=16.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao numerador, com u=x e v=y, temos
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Como o numerador é a x^{2}-a y^{2}=a(x^{2}-y^{2}), podemos escrever
a x^{2}-a y^{2}=a\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)=a(x-y)(x+y).

Passo 4

Agora olhamos para o denominador. Reconhece-se um quadrado perfeito: a identidade é
(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}.
Isso é obtido expandindo (x-y)(x-y). Portanto o denominador pode ser reescrito como
x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}.

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original obtemos
\frac{a x^{2}-a y^{2}}{x^{2}-2 x y+y^{2}} = \frac{a(x-y)(x+y)}{(x-y)^{2}}.
Como explicado no Passo 1, assumimos x\neq y (para que o denominador não seja zero), então o fator comum x-y é diferente de zero e pode ser cancelado em numerador e denominador. Cancelando um fator x-y de cada lado resulta
\frac{a(x-y)(x+y)}{(x-y)^{2}}=\frac{a(x+y)}{x-y}.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a expressão simplificada coincide com a alternativa (b).

Resposta

b) \dfrac{a(x+y)}{x-y}

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