Um fabricante de automóveis defende que o novo modelo que vai ser lançado no próximo mês gasta em média 9,7 litros aos 100 km, em circuito urbano, e o desvio padrão é desconhecido. Através de um esquema de amostragem estimou-se tal desvio padrão como sendo
litro. Admitindo que o consumo segue uma distribuição Normal, qual a probabilidade de, numa amostra aleatória de 20 automóveis, o consumo médio amostral ser superior a 10 litros? E inferior a 8,9 litros?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde um fabricante de carros diz que o novo modelo consome, em média, 9,7 litros a cada 100 km em cidade. A gente não sabe qual é o desvio padrão real, mas fez uma amostra de 20 carros e descobriu que o desvio padrão amostral é $ s = 1 $ litro. A questão aqui é calcular a probabilidade de, nessa amostra de 20 carros, a média de consumo ser maior que 10 litros e menor que 8,9 litros. Vamos precisar usar conceitos de Distribuição Normal e Distribuição da Média Amostral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição da Média Amostral. Quando temos uma amostra de tamanho $ n $ de uma população que segue uma distribuição normal, a média das amostras ($ \bar{x}
\mu
\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $).
Como não sabemos o desvio padrão da população ($ \sigma
s $) para estimar. Então, a distribuição da média amostral fica:
Passo 3
Vamos calcular o Erro Padrão da Média, que é $ \frac{s}{\sqrt{n}} $.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral seja superior a 10 litros. Para isso, vamos calcular o valor-z, que nos diz quantos desvios padrão a média está longe da média da população.
Passo 5
Com o valor-z calculado, usamos a Tabela da Distribuição Normal para encontrar a probabilidade correspondente. Procuramos a probabilidade de $ z > 1,34 $.
Consultando a tabela, a probabilidade de $ z < 1,34 $ é aproximadamente 0,9099. Então, a probabilidade de $ z > 1,34 $ é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a probabilidade de que a média amostral seja inferior a 8,9 litros. Novamente, calculamos o valor-z:
Passo 7
Usando a Tabela da Distribuição Normal, encontramos a probabilidade correspondente a $ z < -3,575 $.
A probabilidade de $ z < -3,575 $ é muito pequena, aproximadamente 0,0002 ou 0,02%.
Resposta
A probabilidade de a média amostral ser superior a 10 litros é de aproximadamente 9,01%, e a probabilidade de ser inferior a 8,9 litros é de aproximadamente 0,02%.