Um fabricante de automóveis realizou um teste em um de seus carros para avaliar a sua performance. Para completar a primeira volta o carro gastou 120 segundos e, a partir da segunda volta, passou a gastar um tempo 5% menor do que o tempo gasto para completar a volta anterior. Qual foi o tempo aproximado, em segundos, que esse carro gastou para completar as 10 primeiras voltas? (Use: 0,95¹⁰ = 0,6)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um carro que faz a primeira volta em 120 segundos. A partir da segunda volta, cada volta demora 5% menos que a anterior. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo, de forma aproximada, o carro gastou para completar as 10 primeiras voltas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de progressão geométrica e somar os tempos das voltas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o tempo de cada volta está diminuindo. Sabemos que a primeira volta levou 120 segundos. A segunda volta vai levar 5% menos que isso. Então, para calcular o tempo da segunda volta, multiplicamos 120 por 0,95 (já que 5% é igual a 0,05, e diminuir 5% é multiplicar por 1 - 0,05 = 0,95).
Tempo da 2ª volta = 120 × 0,95 = 114 segundos

Passo 3

Agora, percebemos que a cada volta, o tempo está sendo multiplicado por 0,95. Isso forma uma sequência onde cada termo é 0,95 vezes o anterior. Esse tipo de sequência é chamada de progressão geométrica (PG). Em uma PG, a cada passo, multiplicamos pelo mesmo número, chamado de razão da PG. No nosso caso, a razão é 0,95.

Passo 4

Para encontrar o tempo total das 10 voltas, precisamos somar os tempos de cada uma delas. Isso significa somar os tempos de uma PG com 10 termos, onde o primeiro termo (a₁) é 120 segundos e a razão ® é 0,95.
A soma dos termos de uma PG é dada pela fórmula:
Sn = a1 times 1 - r^n1 - r
Onde:
  • $ S_n $ é a soma dos n termos
  • $ a_1 $ é o primeiro termo
  • $ r $ é a razão
  • $ n $ é o número de termos

Passo 5

Vamos aplicar os valores na fórmula. Aqui, $ a_1 = 120 $, $ r = 0,95 $ e $ n = 10 $.
a1 = 120
A questão nos deu que $ 0,95^{10} \approx 0,6 $. Substituindo:
r = 0,95

Passo 6

Agora, vamos simplificar a fração:
0,40,05 = 8
Então:
S10 = 120 times 8 = 960 segundos

Resposta

O carro gastou aproximadamente 960 segundos para completar as 10 primeiras voltas.

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