- Um fabricante de latas de conservas de formato cilíndrico recebe um pedido muito grande de latas com determinado volume
. Quais as dimensões que minimizarão a área total da superfície de uma lata como esta e, portanto, a quantidade de metal necessário para fabricá-la?
Sendo re h, respectivamente, o raio da base e a altura de uma lata cilíndrica seu volume é
e a área total da superfície é
Devemos minimizar
, que é uma função de duas variáveis, notando que a equação (4) relaciona essas variáveis. Logo, resolvendo (4) para
e substituímos em (5) para expressar
como função só de
,
Observemos que
. Assim, buscamos
que minimize
.
deve ser um ponto crítico de
e portanto
Note que
para
Logo
minimiza
. A lata terá as seguintes dimensões
e
Logo
Passo 1
O enunciado pede as dimensões do raio
e da altura
de um cilindro que têm volume fixo
e minimizam a área total de superfície. As fórmulas envolvidas são
e
Passo 2
Da expressão do volume, isolamos
em função de
:
Passo 3
Substituímos esse
na fórmula da área para obter uma função de uma só variável:
Passo 4
Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
Verificamos que é mínimo analisando a segunda derivada:
logo o ponto crítico é realmente um mínimo.
Passo 6
Finalmente, calculamos a altura correspondente: