1. Um fabricante de latas de conservas de formato cilíndrico recebe um pedido muito grande de latas com determinado volume V_{0}. Quais as dimensões que minimizarão a área total da superfície de uma lata como esta e, portanto, a quantidade de metal necessário para fabricá-la?
Sendo re h, respectivamente, o raio da base e a altura de uma lata cilíndrica seu volume é
V_{0}=\pi r^{2} h
e a área total da superfície é
A=2 \pi r^{2}+2 \pi r h
Devemos minimizar A, que é uma função de duas variáveis, notando que a equação (4) relaciona essas variáveis. Logo, resolvendo (4) para h, h=\frac{V_{0}}{\pi r^{2}} e substituímos em (5) para expressar A como função só de r,
A(r)=2 \pi r^{2}+2 \pi r \frac{V_{0}}{\pi r^{2}}=2 \pi r^{2}+\frac{2 V_{0}}{r}, r>0
Observemos que \lim _{r \rightarrow 0^{+}} A(r)=\infty. Assim, buscamos r>0 que minimize A(r). r deve ser um ponto crítico de A(r) e portanto
\frac{d A}{d r}=4 \pi r-\frac{2 V_{0}}{r^{2}}=0, \quad 2 V_{0}=4 \pi r^{3} \Longrightarrow r=\sqrt[3]{\frac{V_{0}}{2 \pi}}
Note que \frac{d^{2} A}{d r^{2}}=4 \pi+\frac{4 V_{0}}{r}>0 para r=\sqrt[3]{\frac{V_{0}}{2 \pi}}
Logo r=\sqrt[3]{\frac{V_{0}}{2 \pi}} minimiza A(r). A lata terá as seguintes dimensões r=\sqrt[3]{\frac{V_{0}}{2 \pi}} e h=2 \sqrt[3]{\frac{V_{0}}{2 \pi}}

Passo 1

O enunciado pede as dimensões do raio r e da altura h de um cilindro que têm volume fixo \,V_{0} e minimizam a área total de superfície. As fórmulas envolvidas são
V_{0}=\pi r^{2}h
e
A=2\pi r^{2}+2\pi r h.

Passo 2

Da expressão do volume, isolamos h em função de r:
h = \frac{V_{0}}{\pi r^{2}}.

Passo 3

Substituímos esse h na fórmula da área para obter uma função de uma só variável:
A(r)=2\pi r^{2}+2\pi r\;\frac{V_{0}}{\pi r^{2}} =2\pi r^{2}+\frac{2V_{0}}{r}, \quad r>0.

Passo 4

Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
\frac{dA}{dr} =4\pi r \;-\;\frac{2V_{0}}{r^{2}} \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad 4\pi r^{3}=2V_{0} \quad\Longrightarrow\quad r^{3}=\frac{V_{0}}{2\pi} \quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt[3]{\frac{V_{0}}{2\pi}}.

Passo 5

Verificamos que é mínimo analisando a segunda derivada:
\frac{d^{2}A}{dr^{2}} =4\pi + \frac{4V_{0}}{r^{3}} >0 \quad\text{para todo }r>0,
logo o ponto crítico é realmente um mínimo.

Passo 6

Finalmente, calculamos a altura correspondente:
h = \frac{V_{0}}{\pi r^{2}} = \frac{V_{0}}{\pi \bigl(\sqrt[3]{\tfrac{V_{0}}{2\pi}}\bigr)^{2}} =2\,\sqrt[3]{\frac{V_{0}}{2\pi}}.

Resposta

r = \sqrt[3]{\frac{V_{0}}{2\pi}}, \qquad h = 2\,\sqrt[3]{\frac{V_{0}}{2\pi}}.

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