Um fabricante de líquido para bolhas de sabão irá testar a fórmula de uma nova solução. A solução será aprovada se o percentual de parisons produzidos, em que o conteúdo não permite a inflação das bolhas, não exceder 7 %. Uma amostra aleatória de 700 parisons contém 55 parisons defeituosos. Use os valores de z arredondados para três casas decimais para a obtenção das respostas.
a) Formule e teste um conjunto adequado de hipóteses para determinar se a solução pode ser aprovada. Use alpha=0,05. Encontre o valor P.
b) Encontre o limite superior de confiabilidade de 95 % para P.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Um fabricante quer testar se sua nova fórmula de líquido para bolhas de sabão é boa. Para isso, ele verifica se menos de 7% das bolhas produzem parisons defeituosos, ou seja, que não conseguem inflar. Ele pegou uma amostra de 700 parisons e encontrou 55 defeituosos. Usaremos conceitos de estatística, especificamente teste de hipóteses para proporções, para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Parte a): Primeiro, vamos formular as hipóteses. A hipótese nula ( H0) será que a proporção de defeituosos é igual a 7%, e a hipótese alternativa ( Ha) será que a proporção é maior que 7%. Isso porque queremos saber se os defeitos excedem o limite permitido.
Hipóteses:
H0: p = 0,07 Ha: p > 0,07

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra. Temos 55 defeitos em 700 parisons.
p = 55700 approx 0,0786

Passo 4

Para testar a hipótese, vamos usar o teste z para proporções. A fórmula para o cálculo do z é:
z = p - p0raizp0(1 - p0)n
onde:
  • p é a proporção observada,
  • p0 é a proporção na hipótese nula,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Substituindo os valores:
z = 0,0786 - 0,07raiz0,07 times 0,93700 approx 0,00860,0102 approx 0,843

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor p correspondente a esse z. Usando a tabela de distribuição normal padrão, ou uma calculadora, encontramos que:
P(Z > 0,843) approx 0,200

Passo 7

Comparando o valor p com o nível de significância alpha = 0,05, percebemos que 0,200 > 0,05. Isso significa que não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Passo 8

Parte b): Vamos encontrar o limite superior de confiança de 95% para a proporção P. Usaremos a fórmula do intervalo de confiança para a proporção:
p + zalpha times raizp(1 - p)n
onde zalpha é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado.

Passo 9

Para um intervalo de 95% de confiança, o valor z é aproximadamente 1,645 (considerando um intervalo unilateral superior).

Passo 10

Substituindo os valores:
0,0786 + 1,645 times raiz0,0786 times 0,9214700 approx 0,0786 + 1,645 times 0,010
approx 0,0786 + 0,01645 approx 0,095

Resposta

a) O valor p é aproximadamente 0,200. Como 0,200 > 0,05, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, a solução pode ser aprovada.
b) O limite superior de confiança de 95% para P é aproximadamente 9,5%.

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