Um fabricante de líquido para bolhas de sabão irá testar a fórmula de uma nova solução. A solução será aprovada se o percentual de parisons produzidos, em que o conteúdo não permite a inflação das bolhas, não exceder
. Uma amostra aleatória de 700 parisons contém 55 parisons defeituosos. Use os valores de z arredondados para três casas decimais para a obtenção das respostas.
a) Formule e teste um conjunto adequado de hipóteses para determinar se a solução pode ser aprovada. Use
. Encontre o valor
.
b) Encontre o limite superior de confiabilidade de
para
.
a) Formule e teste um conjunto adequado de hipóteses para determinar se a solução pode ser aprovada. Use
b) Encontre o limite superior de confiabilidade de
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Um fabricante quer testar se sua nova fórmula de líquido para bolhas de sabão é boa. Para isso, ele verifica se menos de 7% das bolhas produzem parisons defeituosos, ou seja, que não conseguem inflar. Ele pegou uma amostra de 700 parisons e encontrou 55 defeituosos. Usaremos conceitos de estatística, especificamente teste de hipóteses para proporções, para resolver as duas partes do exercício.
Passo 2
Parte a): Primeiro, vamos formular as hipóteses. A hipótese nula (
) será que a proporção de defeituosos é igual a 7%, e a hipótese alternativa (
) será que a proporção é maior que 7%. Isso porque queremos saber se os defeitos excedem o limite permitido.
Hipóteses:
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra. Temos 55 defeitos em 700 parisons.
Passo 4
Para testar a hipótese, vamos usar o teste z para proporções. A fórmula para o cálculo do z é:
onde:
-
é a proporção observada, -
é a proporção na hipótese nula, -
é o tamanho da amostra.
Passo 5
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor p correspondente a esse z. Usando a tabela de distribuição normal padrão, ou uma calculadora, encontramos que:
Passo 7
Comparando o valor p com o nível de significância
, percebemos que
. Isso significa que não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.
Passo 8
Parte b): Vamos encontrar o limite superior de confiança de 95% para a proporção
. Usaremos a fórmula do intervalo de confiança para a proporção:
onde
é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado.
Passo 9
Para um intervalo de 95% de confiança, o valor z é aproximadamente 1,645 (considerando um intervalo unilateral superior).
Passo 10
Substituindo os valores:
Resposta
a) O valor p é aproximadamente
. Como
, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, a solução pode ser aprovada.
b) O limite superior de confiança de
para
é aproximadamente
.