Faça uma comparação detalhada, qualitativa e quantitativa, das propriedade de fios de cobre e alumínio para serem usados na distribuição de energia elétrica operando na freqüência de 60 Hz . Considere que as perdas em ambos os fios devem ser iguais e considere o efeito pelicular.
Table 1: Tabela I. Dados do alumínio e cobre
\captionsetup{labelformat=empty}
\boldsymbol{\rho}(\mathbf{g} / \mathbf{c m} \mathbf{3}) \boldsymbol{\rho}(\mathbf{n} \mathbf{\Omega} . \mathbf{m}) Preço (\mathbf{R} \mathbf{\} / \mathbf{k g}) &\boldsymbol{\mu}_{\mathbf{r}}$
Cobre 8,95 17 15,33 1,0
Alumínio 2,70 29 3,89 1,0

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados disponíveis.
  • Pedido: comparar qualitativa e quantitativamente as propriedades de fios de cobre e alumínio para distribuição de energia a 60\\ \text{Hz}, impondo que as perdas em ambos os fios sejam iguais e considerando efeito pelicular (skin effect).
  • Peguei os dados fornecidos na tabela do enunciado. Valores úteis (unidades convertidas quando necessário serão explicadas adiante):
    • Densidade: cobre \rho_{\text{massa,Cu}}=8,95\\ \text{g/cm}^3, alumínio \rho_{\text{massa,Al}}=2,70\\ \text{g/cm}^3.
    • Resistividade elétrica (na tabela em \text{n}\Omega\cdot\text{m}): cobre \rho_{\text{el,Cu}}=17\\ \text{n}\Omega\cdot\text{m}=17\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\text{m}, alumínio \rho_{\text{el,Al}}=29\\ \text{n}\Omega\cdot\text{m}=29\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\text{m}.
    • Preço: cobre 15,33\\ \text{R\$/ kg}, alumínio 3,89\\ \text{R\$ / kg}.
    • Permeabilidade relativa: \mu_{r}=1{,}0 para ambos.
  • Restrições / hipóteses que vou usar (para a prova, e também porque são típicas em comparação de condutores):
    • Condutores sólidos, seção circular (raio a, área A=\pi a^2).
    • Frequência f=60\\ \text{Hz} (logo \omega=2\pi f).
    • Considerar regimes com e sem efeito pelicular e comparar aproximações limites; quando necessário, dar números exemplares (ex.: A_{\text{Cu}}=100\\ \text{mm}^2) para quantificar efeitos.
  • Objetivo prático: determinar relações entre áreas (ou raios), massas e custos quando se impõe que as perdas elétricas (por unidade de comprimento, ao mesmo corrente) sejam iguais entre os dois materiais, e avaliar o impacto do efeito de pele.

Passo 2

Conceito do efeito pelicular (skin effect) e fórmula da profundidade de penetração (skin depth).
  • O que é: em correntes alternadas, o campo magnético variável induz correntes que fazem a densidade de corrente tender a se concentrar na periferia do condutor; isso aumenta a resistência efetiva em relação ao valor cc.
  • Profundidade de penetração (skin depth) \delta: distância na qual a densidade de corrente decresce por 1/e. A fórmula é
\delta = \sqrt{\dfrac{2\rho_{\text{el}}}{\omega \mu}},
onde:
  • \rho_{\text{el}} é a resistividade elétrica do material (em \Omega\cdot\text{m}),
  • \omega = 2\pi f é a pulsação (em \text{rad/s}),
  • \mu = \mu_0 \mu_r é a permeabilidade magnética absoluta ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}, \mu_r relativa).
  • Interpretação prática:
    • Se o raio do condutor a satisfaz a\ll\delta, a corrente é praticamente uniforme e R_{\text{AC}}\approx R_{\text{DC}}=\dfrac{\rho_{\text{el}}}{A}.
    • Se a\gg\delta, a corrente está confinada numa camada de espessura \sim\delta e a resistência por unidade de comprimento escala aproximadamente como R_{\text{AC}}\approx\dfrac{1}{2\pi a \delta \sigma} = \dfrac{\rho_{\text{el}}}{2\pi a \delta} (onde \sigma=1/\rho_{\text{el}}).

Passo 3

Cálculo numérico da profundidade de pele para cobre e alumínio a 60\\ \text{Hz}.
  • Dados utilizados: f=60\\ \text{Hz}\Rightarrow \omega=2\pi\cdot60, \mu=\mu_0\cdot1{,}0 (pois \mu_r=1 para ambos). Peguei \rho_{\text{el}} da tabela: cobre 17\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\text{m}, alumínio 29\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\text{m}.
  • Cálculo (mostrando as fórmulas usadas):
\omega = 2\pi f,\qquad \mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m},
\delta=\sqrt{\dfrac{2\rho_{\text{el}}}{\omega\mu}}.
  • Valores numéricos:
    • Para o cobre:
    \delta_{\text{Cu}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot17\times10^{-9}}{2\pi\cdot60\cdot 4\pi\times10^{-7}}}\approx 8,47\\ \text{mm}.
    • Para o alumínio:
    \delta_{\text{Al}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot29\times10^{-9}}{2\pi\cdot60\cdot 4\pi\times10^{-7}}}\approx 11,06\\ \text{mm}.
  • Interpretação: as profundidades de pele são relativamente grandes (alguns mm). Portanto, para condutores com raio menor que esses valores o efeito pelicular é pequeno; para condutores com secções muito grandes (raio da ordem de dezenas de mm) o efeito torna-se relevante.

Passo 4

Fórmulas de resistência por unidade de comprimento (casos práticos) e comentários.
  • Resistência DC por unidade de comprimento (condutor circular, seção A=\pi a^2):
R_{\text{DC}} = \dfrac{\rho_{\text{el}}}{A} = \dfrac{\rho_{\text{el}}}{\pi a^2}.
  • Aproximação para alta frequência (quando a\gg\delta, corrente confinada numa camada de espessura \delta):
R_{\text{AC}} \approx \dfrac{\rho_{\text{el}}}{2\pi a \delta}.
  • Observação didática:
    • Para a\ll\delta: R_{\text{AC}}\approx R_{\text{DC}}.
    • Para a\gg\delta: usando \delta=\sqrt{2\rho_{\text{el}}/(\omega\mu)} pode-se reescrever a aproximação e ver dependência em \sqrt{\rho_{\text{el}}}. Mas é suficiente para a prova saber as duas formas limite acima e quando aplicá-las.

Passo 5

Determinar a razão das áreas quando impomos perdas iguais (mesmo corrente) — caso sem considerar a complexidade intermediária.
  • Situação operativa: ambos os fios transportam a mesma corrente I e desejamos que as perdas por unidade de comprimento P_{\text{loss}}=I^2 R_{\text{AC}} sejam iguais. Isto implica igual R_{\text{AC}} por unidade de comprimento.
  • Limite 1 (regime onde o efeito de pele é desprezível, a\ll\delta): igualar resistências DC dá
\dfrac{\rho_{\text{el,Cu}}}{A_{\text{Cu}}}=\dfrac{\rho_{\text{el,Al}}}{A_{\text{Al}}} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{A_{\text{Al}}}{A_{\text{Cu}}}=\dfrac{\rho_{\text{el,Al}}}{\rho_{\text{el,Cu}}}.
  • Limite 2 (regime forte de pele, a\gg\delta): usando a aproximação R_{\text{AC}}\approx \dfrac{\rho_{\text{el}}}{2\pi a \delta} e lembrando \delta\propto\sqrt{\rho_{\text{el}}}, deduz-se (ver referência rápida do desenvolvimento) que a razão das áreas que iguala R_{\text{AC}} também resulta em
\dfrac{A_{\text{Al}}}{A_{\text{Cu}}}=\dfrac{\rho_{\text{el,Al}}}{\rho_{\text{el,Cu}}}.
  • Conclusão importante (útil na prova): em ambos os limites extremos (sem pele e pele forte) a razão de áreas necessária para igualar as perdas, mantendo a mesma geometria (condutores sólidos e circulares), é simplesmente a razão das resistividades elétricas. Portanto, como primeira aproximação prática, a relação
\dfrac{A_{\text{Al}}}{A_{\text{Cu}}}=\dfrac{\rho_{\text{el,Al}}}{\rho_{\text{el,Cu}}}
é válida para comparar os dois materiais — e, como veremos, para a faixa de 60\\ \text{Hz} e dimensões usuais essa aproximação é a que domina.

Passo 6

Cálculo numérico da razão de áreas e suas consequências diretas (massa e custo), usando os valores da tabela.
  • Razão de resistividades (peguei \rho_{\text{el}} da tabela):
\dfrac{A_{\text{Al}}}{A_{\text{Cu}}}=\dfrac{29\times10^{-9}}{17\times10^{-9}}=\dfrac{29}{17}\approx 1{,}706.
Logo, para ter a mesma resistência (e, portanto, as mesmas perdas ao mesmo corrente) o condutor de alumínio deve ter área cerca de 1{,}706 vezes a área do condutor de cobre.
  • Massa por unidade de comprimento: m'=\rho_{\text{massa}}\cdot A (onde \rho_{\text{massa}} em \text{kg/m}^3, lembre que 1\\ \text{g/cm}^3=1000\\ \text{kg/m}^3). Usando as densidades da tabela:
    • Densidades: \rho_{\text{massa,Cu}}=8950\\ \text{kg/m}^3, \rho_{\text{massa,Al}}=2700\\ \text{kg/m}^3.
    • Razão massa por comprimento (para áreas ajustadas conforme acima):
\dfrac{m'_{\text{Al}}}{m'_{\text{Cu}}}= \dfrac{\rho_{\text{massa,Al}} A_{\text{Al}}}{\rho_{\text{massa,Cu}} A_{\text{Cu}}} = \dfrac{\rho_{\text{massa,Al}}}{\rho_{\text{massa,Cu}}}\cdot\dfrac{A_{\text{Al}}}{A_{\text{Cu}}}.
Numérico:
\dfrac{m'_{\text{Al}}}{m'_{\text{Cu}}}=\dfrac{2700}{8950}\cdot 1{,}706\approx 0{,}514.
Ou seja, o condutor de alumínio que apresenta a mesma resistência tem aproximadamente 51{,}4\% da massa por metro do condutor de cobre correspondente — é muito mais leve.
  • Custo por unidade de comprimento (usando preços da tabela): custo linear c'=m'\cdot\text{preço/kg}ç. A razão de custos Al/Cu é
\dfrac{c'_{\text{Al}}}{c'_{\text{Cu}}}= \dfrac{\text{preço}_{\text{Al}}\cdot m'_{\text{Al}}}{\text{preço}_{\text{Cu}}\cdot m'_{\text{Cu}}} =\dfrac{\text{preço}_{\text{Al}}}{\text{preço}_{\text{Cu}}}\cdot\dfrac{m'_{\text{Al}}}{m'_{\text{Cu}}}.çççç
Numérico:
\dfrac{c'_{\text{Al}}}{c'_{\text{Cu}}} \approx \dfrac{3{,}89}{15{,}33}\cdot 0{,}514 \approx 0{,}131.
Logo, com os preços dados, o condutor de alumínio dimensionado para igualar perdas custa cerca de 13{,}1\% do custo do condutor de cobre — ou seja, é ~7,6 vezes mais barato por comprimento (para a mesma resistividade elétrica equivalente).

Passo 7

Exemplo numérico concreto (típico em provas) — comparar um par de condutores com A_{\text{Cu}}=100\\ \text{mm}^2.
  • Tomemos A_{\text{Cu}}=100\\ \text{mm}^2=100\times10^{-6}\\ \text{m}^2. Então A_{\text{Al}}=1{,}706\cdot100\\ \text{mm}^2=170{,}6\\ \text{mm}^2.
  • Raios e diâmetros:
    • a_{\text{Cu}}=\sqrt{\dfrac{A_{\text{Cu}}}{\pi}}=\sqrt{\dfrac{100\times10^{-6}}{\pi}}\approx 5{,}64\\ \text{mm} (diâmetro =11{,}28\\ \text{mm}).
    • a_{\text{Al}}\approx 7{,}37\\ \text{mm} (diâmetro =14{,}74\\ \text{mm}).
  • Verificação do efeito pelicular: como a_{\text{Cu}}=5{,}64\\ \text{mm}<\delta_{\text{Cu}}(=8{,}47\\ \text{mm}) e a_{\text{Al}}=7{,}37\\ \text{mm}<\delta_{\text{Al}}(=11{,}06\\ \text{mm}), para essas áreas o efeito de pele é pequeno — portanto a aproximação DC usada antes é adequada.
  • Resistência por km (DC) para A_{\text{Cu}}=100\\ \text{mm}^2:
R_{\text{Cu}}=\dfrac{17\times10^{-9}}{100\times10^{-6}}=0{,}00017\\ \Omega/\text{m}=0{,}17\\ \Omega/\text{km}.
Idêntico para o alumínio dimensionado (pois igualamos áreas conforme resistividade): R_{\text{Al}}=0{,}17\\ \Omega/\text{km}.
  • Massas e custos por metro (valores úteis em provas):
    • Massa por metro cobre: m'_{\text{Cu}}=8950\cdot100\times10^{-6}=0{,}895\\ \text{kg/m}.
    • Massa por metro alumínio: m'_{\text{Al}}=2700\cdot170{,}6\times10^{-6}\approx0{,}461\\ \text{kg/m}.
    • Custo por metro cobre: c'_{\text{Cu}}=0{,}895\cdot15{,}33\approx 13{,}72\\ \text{R\$/m}.
    • Custo por metro alumínio: c'_{\text{Al}}=0{,}461\cdot3{,}89\approx 1{,}79\\ \text{R\$/m}.

Passo 8

Quando o efeito pelicular começa a importar (limiares) e exemplo de aumento da resistência AC.
  • Regra prática: efeito pelicular torna-se significativo quando a é comparável a \delta. A área crítica em que a=\delta é A_{\text{crit}}=\pi\delta^2.
  • Valores calculados:
    • Para o cobre: A_{\text{crit,Cu}}=\pi\delta_{\text{Cu}}^2\approx \pi(8{,}47\times10^{-3})^2\approx 225\\ \text{mm}^2.
    • Para o alumínio: A_{\text{crit,Al}}\approx \pi(11{,}06\times10^{-3})^2\approx 385\\ \text{mm}^2.
  • Interpretação: condutores com área menor que essas cifras têm pele pouco relevante a 60\\ \text{Hz}; áreas maiores começam a sofrer aumento de R_{\text{AC}}.
  • Exemplo de aumento (aproximação quando a\gg\delta):
\dfrac{R_{\text{AC}}}{R_{\text{DC}}}\approx \dfrac{a}{2\delta}.
Se por exemplo a=25\\ \text{mm} (condutor gigante, diâmetro 50\\ \text{mm}):
  • Para cobre: a/\delta_{\text{Cu}}\approx 25/8{,}47\approx 2{,}95 \Rightarrow R_{\text{AC}}/R_{\text{DC}}\approx 1{,}48 (aumento de 48\%).
  • Para alumínio: a/\delta_{\text{Al}}\approx 25/11{,}06\approx 2{,}26 \Rightarrow R_{\text{AC}}/R_{\text{DC}}\approx 1{,}13 (aumento de 13\%).
  • Observação prática: para condutores muito grandes o aumento em R_{\text{AC}} difere entre metais por causa de \delta diferente; entretanto, como visto nos limites extremos a razão de áreas para igualar perdas tende a permanecer próxima da razão de resistividades.

Passo 9

Aspectos qualitativos, mecânicos e práticos (o que o projetista deve considerar além dos números).
  • Vantagens do alumínio para linhas de distribuição aéreas:
    • Mais leve (reduz tensões mecânicas e exige menos estrutura), muito mais barato por comprimento quando dimensionado para mesma resistência elétrica (números acima mostram grande vantagem de custo e massa).
    • Em condutores estrangulados/um conjunto de fios (stranded), o efeito pelicular por fio pequeno é desprezível.
  • Vantagens do cobre:
    • Melhor condutividade específica (menor resistividade), melhor performance em dispositivos compactos e conexões (menor aquecimento em juntas), melhor ductilidade para terminais e soldagem, maior resistência mecânica à fadiga em aplicações específicas.
    • Em trechos curtos, cabos subterrâneos, barras coletoras e terminais, cobre é frequentemente preferido apesar do custo.
  • Observação sobre ligações mecânicas e oxidação: alumínio oxida facilmente e tem coeficiente de expansão térmica maior; junta inadequada pode gerar perda de contacto. Esses fatores exigem cuidados construtivos (terminais apropriados, compressão, tratamentos).
  • Stranding (múltiplos fios finos) e ACSR (aluminum conductor steel reinforced) são soluções técnicas usadas para manter raio efetivo pequeno (minimizando skin effect), aumentar resistência mecânica e modular capacidade.

Passo 10

Resumo prático para provas e aplicações rápidas (o que escrever como conclusão).
  • Para 60\\ \text{Hz} e condutores com diâmetros/áreas usuais de distribuição (até algumas centenas de \text{mm}^2), o efeito pelicular é frequentemente pequeno; portanto a comparação pode ser feita à primeira ordem com resistividades DC.
  • Razão de áreas necessária para igualar perdas (mesma corrente):
\dfrac{A_{\text{Al}}}{A_{\text{Cu}}}\approx \dfrac{\rho_{\text{el,Al}}}{\rho_{\text{el,Cu}}}\approx \dfrac{29}{17}\approx 1{,}706.
  • Consequência prática: para mesma resistência, o condutor de alumínio terá cerca de 51{,}4\% da massa por metro e cerca de 13{,}1\% do custo por metro com os preços dados (isto é, muito mais barato e mais leve).
  • Para áreas maiores que \sim225\\ \text{mm}^2 (cobre) e \sim385\\ \text{mm}^2 (alumínio) o efeito de pele começa a aparecer e deve ser levado em conta no cálculo de R_{\text{AC}}; mas o resultado prático (área maior para alumínio) não muda qualitativamente.

Resposta

\delta_{\text{Cu}} \approx 8{,}47\\ \text{mm}
\delta_{\text{Al}} \approx 11{,}06\\ \text{mm}
\dfrac{A_{\text{Al}}}{A_{\text{Cu}}} \approx \dfrac{\rho_{\text{el,Al}}}{\rho_{\text{el,Cu}}}=\dfrac{29}{17}\approx 1{,}706
\dfrac{m'_{\text{Al}}}{m'_{\text{Cu}}}\approx 0{,}514 (massa por metro do Al ≈ 51{,}4\% do Cu, para mesmas perdas)
\dfrac{c'_{\text{Al}}}{c'_{\text{Cu}}}\approx 0{,}131 (custo por metro do Al ≈ 13{,}1\% do Cu, com preços dados)
Áreas críticas onde a=\delta: A_{\text{crit,Cu}}\approx225\\ \text{mm}^2, A_{\text{crit,Al}}\approx385\\ \text{mm}^2 (acima disso o efeito pelicular é significativo)

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