Faça um esboço do gráfico da função
dada e encontre, se existir, cada um dos limites
e
; se não existir, indique a razão disto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
e o ponto
. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função e encontrar os limites laterais
,
e o limite geral
. Para isso, vamos usar conceitos de funções absolutas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. A parte
é uma função absoluta, que transforma qualquer expressão dentro dela em um valor positivo. Isso significa que, dependendo do valor de
,
pode ser positivo ou negativo, mas o valor absoluto sempre será não negativo.
Passo 3
Vamos identificar o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto é zero, ou seja, onde
. Resolvendo essa equação:
Esse é o ponto crítico onde a função pode ter uma “quebra” no gráfico.
Passo 4
Agora, vamos dividir a função em duas partes, dependendo de
ser maior ou menor que
:
-
Para
: Então,. -
Para
: Então,.
Passo 5
Com isso, podemos desenhar o gráfico da função:
- Para
, a função é uma reta com inclinação positiva e intercepto em . - Para
, a função é uma reta com inclinação negativa e intercepto em .
No ponto
, as duas retas se encontram:
Passo 6
Agora, vamos calcular os limites laterais.
Limite pela direita (
):
Usamos a função para :
Usamos a função para
Limite pela esquerda (
):
Usamos a função para :
Usamos a função para
Passo 7
Como os limites laterais são iguais, podemos concluir que o limite geral existe e é igual a ambos os limites laterais.
Resposta
O limite
é
, o limite
é
e o limite geral
também é
.