Faça um esboço gráfico das regiões abaixo
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para fazermos um esboço gráfico da região definida pela inequação
. Isso está relacionado à Geometria Analítica, especificamente com as hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar a hipérbole associada e identificar a região que satisfaz a desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a inequação para facilitar nossa análise:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole horizontal, que tem a forma:
No nosso caso,
,
,
e
. Então,
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os vértices da hipérbole. Para hipérboles horizontais, os vértices estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo x. Como nosso centro é
:
Então, os vértices são
e
.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. Para a forma padrão, as assíntotas são dadas por:
Substituindo
e
:
Então, as equações das assíntotas são
e
.
Passo 5
Agora, vamos desenhar a hipérbole. Com os vértices em
e
e as assíntotas determinadas, a hipérbole terá seus ramos se abrindo para a direita e para a esquerda do centro
, aproximando-se das assíntotas conforme se afastam dos vértices.
Passo 6
Por fim, a inequação
indica que queremos a região dentro da hipérbole. Ou seja, todos os pontos
que satisfazem essa desigualdade estarão na área entre os dois ramos da hipérbole.
Resposta
O esboço gráfico da região definida por
é uma área delimitada pelos ramos de uma hipérbole horizontal com vértices em
e
, e assíntotas nas linhas
e
. A região inclui todos os pontos entre esses ramos.