Faça o gráfico, determine o período e o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função , determinar o período dela e descobrir qual é o conjunto imagem. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, principalmente do seno. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o período da função. O período é o intervalo em que a função completa uma oscilação completa, ou seja, começa e termina repetindo o mesmo padrão. Para a função seno básica , o período é
.
Passo 3
No nosso caso, a função é . Note que a fórmula está na forma geral , onde:
-
é a amplitude, -
afeta o período, -
é o deslocamento horizontal, -
é o deslocamento vertical.
Aqui,
,
,
e
.
Passo 4
Como
, o período da função continua sendo
. Então, o período da nossa função é
.
Passo 5
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função. A amplitude está ligada aos valores máximos e mínimos que a função pode atingir. A amplitude é o valor absoluto de
, então aqui a amplitude é
.
A função seno varia entre -1 e 1. Então, multiplicando por 3, a nossa função vai variar entre
e
. Portanto, o conjunto imagem é:
Passo 6
Por último, vamos falar sobre o gráfico da função . Ele vai ser uma curva suave que oscila entre
e
, com o mesmo formato do gráfico da função seno básica, mas esticado verticalmente. O período será
, ou seja, a curva completa uma oscilação a cada
unidades no eixo x.
Resposta
O período da função é
e o conjunto imagem é
. O gráfico é uma curva senoide que oscila entre -3 e 3, completando uma oscilação a cada
unidades de x.