Faça um gráfico de diversos membros de uma família de curvas com equações paramétricas x=t+a \cos t, y=t+a \operatorname{sen} t, onde a>0. Como muda o formato quando a aumenta? Para quais valores de a a curva tem pontos de mínimo?

Passo 1

O enunciado pede para desenhar, para distintos valores de a>0, a curva paramétrica
x(t)=t + a\cos t,\quad y(t)=t + a\sin t,
ver como o “tamanho” das ondulações cresce quando a aumenta e determinar para quais a aparecem pontos de mínimo (i.e.\ pontos onde a curva faz um “retorno” local).
O conteúdo que vamos usar é:
  1. Interpretação geométrica da família (é uma linha y=x com uma oscilação circular de raio a).
  2. Estudo de derivadas \mathrm{d}x/\mathrm{d}t e \mathrm{d}y/\mathrm{d}t para ver quando a curva deixa de ser estritamente monótona em x ou em y, gerando pontos de mínimo ou máximo nas projeções.

Passo 2

Geom­etricamente, quando a=0 temos exatamente a reta y=x. Para a>0 cada ponto anda ao mesmo tempo na direção da reta y=x (pela parte linear t\mapsto(t,t)) e descreve um círculo de raio a (pela parte (a\cos t,a\sin t)). Logo o gráfico é uma “onda circular” em torno da reta y=x. À medida que a cresce, o raio dessas oscilações aumenta, fazendo a curva “bambolear” cada vez mais longe da diagonal.

Passo 3

Para detectar quando aparecem pontos de retorno (mínimos e máximos locais em x ou em y), calculamos as derivadas:
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =1 - a\sin t,\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} =1 + a\cos t.
Se ambas forem sempre positivas, então x(t) e y(t) são estritamente crescentes e não há mínimos locais. Se alguma muda de sinal, surgem pontos de mínimo ou máximo local nas projeções.

Passo 4

A equação
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=0 \;\Longleftrightarrow\; 1-a\sin t=0 \;\Longleftrightarrow\; \sin t=\frac1a
só tem solução real se \lvert1/a\rvert\le1, i.e.\ se a\ge1. De modo análogo,
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0 \;\Longleftrightarrow\; \cos t=-\frac1a
só ocorre para a\ge1. Portanto:
  • Se 0<a<1, então \mathrm{d}x/\mathrm{d}t>0 e \mathrm{d}y/\mathrm{d}t>0 para todo t: não há pontos de mínimo (ou máximo) nas projeções.
  • Se a>1, aparecem valores de t tais que \mathrm{d}x/\mathrm{d}t ou \mathrm{d}y/\mathrm{d}t muda de sinal, gerando pontos de mínimo e máximo local na curva.

Resposta

A curva oscila em torno da reta y=x com “amplitude” das ondulações igual a a: quanto maior a, maiores as oscilações. Pontos de mínimo (e máximo) só aparecem quando a>1.

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