Faça um gráfico de diversos membros de uma família de curvas com equações paramétricas
, onde
. Como muda o formato quando
aumenta? Para quais valores de
a curva tem pontos de mínimo?
Passo 1
O enunciado pede para desenhar, para distintos valores de
, a curva paramétrica
ver como o “tamanho” das ondulações cresce quando
aumenta e determinar para quais
aparecem pontos de mínimo (i.e.\ pontos onde a curva faz um “retorno” local).
O conteúdo que vamos usar é:
- Interpretação geométrica da família (é uma linha
com uma oscilação circular de raio ). - Estudo de derivadas
e para ver quando a curva deixa de ser estritamente monótona em ou em , gerando pontos de mínimo ou máximo nas projeções.
Passo 2
Geometricamente, quando
temos exatamente a reta
. Para
cada ponto anda ao mesmo tempo na direção da reta
(pela parte linear
) e descreve um círculo de raio
(pela parte
). Logo o gráfico é uma “onda circular” em torno da reta
. À medida que
cresce, o raio dessas oscilações aumenta, fazendo a curva “bambolear” cada vez mais longe da diagonal.
Passo 3
Para detectar quando aparecem pontos de retorno (mínimos e máximos locais em
ou em
), calculamos as derivadas:
Se ambas forem sempre positivas, então
e
são estritamente crescentes e não há mínimos locais. Se alguma muda de sinal, surgem pontos de mínimo ou máximo local nas projeções.
Passo 4
A equação
só tem solução real se
, i.e.\ se
. De modo análogo,
só ocorre para
. Portanto:
- Se
, então e para todo : não há pontos de mínimo (ou máximo) nas projeções. - Se
, aparecem valores de tais que ou muda de sinal, gerando pontos de mínimo e máximo local na curva.
Resposta
A curva oscila em torno da reta
com “amplitude” das ondulações igual a
: quanto maior
, maiores as oscilações. Pontos de mínimo (e máximo) só aparecem quando
.