Faça um gráfico com vários membros das família de curvas x=\operatorname{sen} t+\operatorname{sen} n t, y=\cos t+\cos n t, onde n é um número inteiro positivo. Quais as características que essas curvas têm em comum? O que acontece quando n cresce?
Passo 1
O enunciado nos dá a família de curvas paramétricas
x(t)=\sin t+\sin(nt),\quad y(t)=\cos t+\cos(nt),
onde n é um inteiro positivo, e nos pede para (i) traçar alguns desses casos; (ii) identificar características comuns; (iii) descrever o que ocorre quando n\to\infty.
Para isso vamos usar a representação complexa (soma de fasores) e deduzir uma forma polar da curva, o que nos permite extrair simetrias e número de “pétalas” do gráfico.
mas visto que r muda de sinal alternadamente, a curva é efetivamente invariante por rotações de
\frac{2\pi}{\,n-1\,}
em torno da origem (simetria diédrica \mathrm{D}_{n-1}). Além disso, o raio máximo ocorre quando \cos((n-1)t/2)=\pm1, dando \max r=2 e \min r=-2, ou seja, as pétalas atingem distância 2 da origem.
Passo 6
À medida que n cresce temos:
o número de pétalas cresce como n-1;
cada pétala fica mais “estreita” (os zeros de \cos((n-1)t/2) aproximam-se uns dos outros);
o gráfico torna-se cada vez mais oscilatório dentro da coroa de raio máximo 2.
No limite n\to\infty, as pétalas se multiplicam e o traçado oscila muito rápido entre r=-2 e r=2, aproximando-se de uma “faixa radial” densa entre -2 e 2.
Resposta
Em comum todas as curvas são fechadas, passam pela origem em n-1 pontos, têm simetria diédrica de ordem n-1 e raio máximo igual a 2. Quando n cresce, o número de pétalas cresce (ficam n-1), cada uma delas estreita-se e o traçado torna-se cada vez mais denso e oscilatório.