Faça o mapa das curvas (ou superficies) de nível das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o mapa das curvas (ou superfícies) de nível. Vou deixar claro o que isso significa e quais informações já temos:
- O que é pedido: encontrar, para um valor fixo
o conjunto de pontos tais que . Esses conjuntos são as curvas de nível (contornos) no plano . - Informação dada: a expressão da função
. - Observação importante retirada do enunciado: a função usa um logaritmo natural, então o argumento deve ser positivo; isto afeta o domínio (veja passos adiante).
Não vou resolver ainda — só deixei explícito o que é pedido e quais dados tenho.
Passo 2
Definição e primeira manipulação algébrica (o fundamento do método).
- Por definição, a curva de nível associada a um número
é o conjunto
- Substituindo
, temos a equação da curva de nível:
- Agora uso a propriedade da função logaritmo natural:
implica . Aplicando isso ao nosso caso:
Esta é a equação que descreve as curvas de nível em termos de
.
Passo 3
Reconhecer a geometria da equação obtida.
- A equação
é a equação geral de uma elipse centrada na origem (não há termos mistos nem termos lineares). - Para ver a forma padrão de elipse, divido ambos os lados por
:
- Assim a elipse tem semi-eixo maior (no eixo
) e semi-eixo menor (no eixo ) dados por:
Portanto, para cada
fixo obtemos uma elipse alinhada com os eixos coordenados.
Passo 4
Parâmetros paramétricos e interpretação prática (como desenhar no rascunho da prova).
- Uma parametrização conveniente da elipse
é
com
.
- Observação útil para rascunho: todas as elipses têm a mesma razão entre eixos:
ou seja, são elipses semelhantes (mesma forma), apenas com escala que depende de
. Elas são “anelos elípticos” centrados na origem.
Passo 5
Condições de existência e comportamento quando
varia.
- Domínio: o argumento do logaritmo precisa ser positivo, então precisamos de
. Isso exclui o ponto , onde o log não está definido. Para qualquer fixo, , logo a elipse existe e tem dimensões positivas. - Comportamento quando
muda: - Se
então e as elipses encolhem até se aproximarem do ponto (mas não pertence à função). - Se
então e as elipses crescem sem limite. - A escala das elipses cresce como
— isto é, um aumento linear em corresponde a multiplicar os semi-eixos por .
- Se
Passo 6
Exemplos concretos (para desenhar 3 ou 4 curvas no rascunho da prova — dica preciosa).
- Para
: e a curva é . Semi-eixos: . - Para
: e a curva é . Semi-eixos: . - Para
: e a curva é . Semi-eixos: . - Para
: e a curva é . Semi-eixos: .
Dica prática: no rascunho escolha um conjunto de valores de
espaçados (por exemplo
ou
) e desenhe elipses com razão de eixos
, alterando o tamanho conforme os semi-eixos calculados.
Passo 7
Interpretação final e como escrever rapidamente na prova.
- Conclusão curta e prontinha para a folha da prova: as curvas de nível de
são elipses centradas na origem dadas por
para cada
. Os semi-eixos são
ao longo de
e
ao longo de
. Para desenhar, escolha valores de
e use a parametrização
Resposta
As curvas de nível são, para cada
,
ou seja, elipses centradas na origem com semi-eixos
(eixo
) e
(eixo
); parametrização
.