Faça o mapa das curvas (ou superficies) de nível das seguintes funções:
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+9 y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+9y^{2}\big) e pede o mapa das curvas (ou superfícies) de nível. Vou deixar claro o que isso significa e quais informações já temos:
  • O que é pedido: encontrar, para um valor fixo \,c\in\mathbb{R}\,, o conjunto de pontos (x,y) tais que \displaystyle f(x,y)=c. Esses conjuntos são as curvas de nível (contornos) no plano (x,y).
  • Informação dada: a expressão da função \displaystyle f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+9y^{2}\big).
  • Observação importante retirada do enunciado: a função usa um logaritmo natural, então o argumento deve ser positivo; isto afeta o domínio (veja passos adiante).
Não vou resolver ainda — só deixei explícito o que é pedido e quais dados tenho.

Passo 2

Definição e primeira manipulação algébrica (o fundamento do método).
  • Por definição, a curva de nível associada a um número \,c\in\mathbb{R}\, é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\}.
  • Substituindo f, temos a equação da curva de nível:
\ln\!\big(x^{2}+9y^{2}\big)=c.
  • Agora uso a propriedade da função logaritmo natural: \ln(A)=c implica A=e^{c}. Aplicando isso ao nosso caso:
x^{2}+9y^{2}=e^{c}.
Esta é a equação que descreve as curvas de nível em termos de c.

Passo 3

Reconhecer a geometria da equação obtida.
  • A equação \displaystyle x^{2}+9y^{2}=e^{c} é a equação geral de uma elipse centrada na origem (não há termos mistos xy nem termos lineares).
  • Para ver a forma padrão de elipse, divido ambos os lados por e^{c}:
\frac{x^{2}}{e^{c}}+\frac{y^{2}}{e^{c}/9}=1.
  • Assim a elipse tem semi-eixo maior (no eixo x) e semi-eixo menor (no eixo y) dados por:
a=\sqrt{e^{c}},\qquad b=\sqrt{\frac{e^{c}}{9}}=\frac{\sqrt{e^{c}}}{3}.
Portanto, para cada c fixo obtemos uma elipse alinhada com os eixos coordenados.

Passo 4

Parâmetros paramétricos e interpretação prática (como desenhar no rascunho da prova).
  • Uma parametrização conveniente da elipse \displaystyle x^{2}+9y^{2}=e^{c} é
x=a\cos t=\sqrt{e^{c}}\cos t,\qquad y=b\sin t=\frac{\sqrt{e^{c}}}{3}\sin t,
com t\in[0,2\pi).
  • Observação útil para rascunho: todas as elipses têm a mesma razão entre eixos:
\frac{a}{b}=3,
ou seja, são elipses semelhantes (mesma forma), apenas com escala que depende de c. Elas são “anelos elípticos” centrados na origem.

Passo 5

Condições de existência e comportamento quando c varia.
  • Domínio: o argumento do logaritmo precisa ser positivo, então precisamos de x^{2}+9y^{2}>0. Isso exclui o ponto (0,0), onde o log não está definido. Para qualquer c\in\mathbb{R} fixo, e^{c}>0, logo a elipse existe e tem dimensões positivas.
  • Comportamento quando c muda:
    • Se c\to -\infty então e^{c}\to 0^{+} e as elipses encolhem até se aproximarem do ponto (0,0) (mas (0,0) não pertence à função).
    • Se c\to +\infty então e^{c}\to +\infty e as elipses crescem sem limite.
    • A escala das elipses cresce como \sqrt{e^{c}}=e^{c/2} — isto é, um aumento linear em c corresponde a multiplicar os semi-eixos por e^{\Delta c/2}.

Passo 6

Exemplos concretos (para desenhar 3 ou 4 curvas no rascunho da prova — dica preciosa).
  • Para c=0: e^{0}=1 e a curva é \,x^{2}+9y^{2}=1. Semi-eixos: a=1,\\ b=\tfrac{1}{3}.
  • Para c=\ln 9: e^{\ln 9}=9 e a curva é \,x^{2}+9y^{2}=9. Semi-eixos: a=3,\\ b=1.
  • Para c=\ln 4: e^{\ln 4}=4 e a curva é \,x^{2}+9y^{2}=4. Semi-eixos: a=2,\\ b=\tfrac{2}{3}.
  • Para c=-\ln 4: e^{-\ln 4}=\tfrac{1}{4} e a curva é \,x^{2}+9y^{2}=\tfrac{1}{4}. Semi-eixos: a=\tfrac{1}{2},\\ b=\tfrac{1}{6}.
Dica prática: no rascunho escolha um conjunto de valores de c espaçados (por exemplo -1,0,1,2 ou \ln 1,\ln 4,\ln 9) e desenhe elipses com razão de eixos 3, alterando o tamanho conforme os semi-eixos calculados.

Passo 7

Interpretação final e como escrever rapidamente na prova.
  • Conclusão curta e prontinha para a folha da prova: as curvas de nível de \displaystyle f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+9y^{2}\big) são elipses centradas na origem dadas por
x^{2}+9y^{2}=e^{c},
para cada c\in\mathbb{R}. Os semi-eixos são \displaystyle a=\sqrt{e^{c}} ao longo de x e \displaystyle b=\tfrac{\sqrt{e^{c}}}{3} ao longo de y. Para desenhar, escolha valores de c e use a parametrização \,x=\sqrt{e^{c}}\cos t,\\ y=\tfrac{\sqrt{e^{c}}}{3}\sin t.

Resposta

As curvas de nível são, para cada c\in\mathbb{R},
\{(x,y)\mid \ln(x^{2}+9y^{2})=c\}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+9y^{2}=e^{c},
ou seja, elipses centradas na origem com semi-eixos \displaystyle a=\sqrt{e^{c}} (eixo x) e \displaystyle b=\frac{\sqrt{e^{c}}}{3} (eixo y); parametrização \displaystyle x=\sqrt{e^{c}}\cos t,\\ y=\frac{\sqrt{e^{c}}}{3}\sin t,\\ t\in[0,2\pi).