Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por Re(z) <= 0. e -pi < Im(z) <= pi quando submetido a f(z).
Assuma f(z) = e^z + 1 + i

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mapeamento de conjuntos no plano complexo. Nosso objetivo é mapear todos os pontos que satisfazem e através da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de funções complexas e a representação exponencial dos números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Sabemos que qualquer número complexo pode ser escrito como , onde e .

Passo 3

Vamos expressar usando a fórmula de Euler:
Portanto, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos separar as partes real e imaginária de :
Então, podemos escrever como:

Passo 5

Sabemos que , ou seja, , e . Vamos analisar como esses valores afetam e .
Quando , varia de a . Além disso, varia de a e também varia de a .

Passo 6

Vamos determinar os limites para :
í
á
Portanto, .
Para :
í
á
Assim, .

Passo 7

Concluímos que a região definida por e é mapeada pela função para uma região no plano complexo onde tanto a parte real quanto a parte imaginária variam entre 0 e 2. Geometricamente, isso corresponde a um quadrado no primeiro quadrante com vértices em e .

Resposta

Após o mapeamento, a região definida por e é transformada pela função em um quadrado no plano complexo com limites e .

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