Faça o que se pede.
5. Determine a série de potências de f: R-{1} -> R, f(x) = 1/((1-x)^(2)) indicando o raio e a região de convergência.

Passo 1

Beleza, temos que encontrar a série de potências da função . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de potências e a fórmula da série geométrica. Além disso, precisamos determinar o raio e a região de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, lembrando da série geométrica básica, sabemos que:
Essa é a série de potências de .

Passo 3

Agora, para encontrar a série de , vamos derivar ambos os lados da equação da série geométrica em relação a :
Isso resulta em:

Passo 4

Para deixar a série mais elegante, vamos reindexar a soma. Multiplicando ambos os lados por , temos:
Portanto, a série de potências de é:

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência. Sabemos que a série geométrica original converge para . Como derivamos a série, o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja, .

Passo 6

Finalmente, a região de convergência é o intervalo onde a série converge. Assim, a série de potências de converge para:

Resposta

A série de potências de é:
Com raio de convergência e região de convergência .

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