Faça os seguintes itens:
a) Determine fr([0,1]), fr((0,1)∪(1,2)), fr(Z) e fr(Q).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de topologia juntos! A gente precisa encontrar a fronteira (ou fronteiro) de alguns conjuntos específicos. A fronteira de um conjunto é basicamente os pontos que estão “na borda” desse conjunto, onde pontos próximos podem estar dentro ou fora dele. Para isso, vamos usar conceitos de topologia e entender um pouco sobre fechamento e interior dos conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a fronteira de . Esse conjunto inclui todos os números de 0 a 1, incluindo os próprios 0 e 1. A fronteira de um intervalo fechado como esse é simples de identificar.

Passo 3

A fronteira de é composta pelos pontos que estão nos extremos desse intervalo. Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos para . Esse conjunto é a união de dois intervalos abertos: um de 0 a 1 (sem incluir 0 e 1) e outro de 1 a 2 (sem incluir 1 e 2). A fronteira vai incluir os pontos onde esses intervalos começam e terminam.

Passo 5

A fronteira de inclui os pontos 0, 1 e 2, porque são os pontos de transição onde o conjunto “começa” e “termina”. Assim:

Passo 6

Vamos para , que representa o conjunto dos números inteiros. Pense que cada inteiro é isolado, ou seja, não tem pontos próximos que fazem parte do conjunto. A fronteira de um conjunto discreto como os inteiros tem uma característica especial.

Passo 7

Como os inteiros são pontos isolados, não há pontos de acumulação. Portanto, a fronteira de é o próprio conjunto:

Passo 8

Por último, temos , que é o conjunto dos números racionais. Esse conjunto é denso na reta real, o que significa que entre quaisquer dois números reais sempre existe um número racional. Por causa disso, a fronteira de é toda a reta real.

Passo 9

Portanto, a fronteira de é:

Resposta

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