Faça os seguintes itens:
a) Determine
e
.
a) Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de topologia juntos! A gente precisa encontrar a fronteira (ou fronteiro) de alguns conjuntos específicos. A fronteira de um conjunto é basicamente os pontos que estão “na borda” desse conjunto, onde pontos próximos podem estar dentro ou fora dele. Para isso, vamos usar conceitos de topologia e entender um pouco sobre fechamento e interior dos conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a fronteira de
. Esse conjunto inclui todos os números de 0 a 1, incluindo os próprios 0 e 1. A fronteira de um intervalo fechado como esse é simples de identificar.
Passo 3
A fronteira de
é composta pelos pontos que estão nos extremos desse intervalo. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos para
. Esse conjunto é a união de dois intervalos abertos: um de 0 a 1 (sem incluir 0 e 1) e outro de 1 a 2 (sem incluir 1 e 2). A fronteira vai incluir os pontos onde esses intervalos começam e terminam.
Passo 5
A fronteira de
inclui os pontos 0, 1 e 2, porque são os pontos de transição onde o conjunto “começa” e “termina”. Assim:
Passo 6
Vamos para
, que representa o conjunto dos números inteiros. Pense que cada inteiro é isolado, ou seja, não tem pontos próximos que fazem parte do conjunto. A fronteira de um conjunto discreto como os inteiros tem uma característica especial.
Passo 7
Como os inteiros são pontos isolados, não há pontos de acumulação. Portanto, a fronteira de
é o próprio conjunto:
Passo 8
Por último, temos
, que é o conjunto dos números racionais. Esse conjunto é denso na reta real, o que significa que entre quaisquer dois números reais sempre existe um número racional. Por causa disso, a fronteira de
é toda a reta real.
Passo 9
Portanto, a fronteira de
é: