O famoso antropólogo Sir Francis Galton obteve no Laboratório de Antropologia na Exposição Internacional de 1884 diversas medidas relativas a adultos, algumas das quais se encontram sumariadas na tabela abaixo. Suponha que todas as variáveis em estudo têm distribuições normais com médias e desvios padrão dados nessa tabela.
Homens | Mulheres | |||
---|---|---|---|---|
Variável |
|
|
|
|
altura
|
172 | 7.2 | 161 | 6.6 |
envergadura
|
178 | 7.6 | 160 | 7.4 |
massa
|
64.9 | 7.03 | 55.8 | 6.49 |
(a) i. Qual a probabilidade de um homem medir menos do que 160 cm ?
ii. Acima de que massa ( em kg ) têm os homens mais pesados?
iii. Abaixo de que valor medem as mulheres mais baixas?
ii. Acima de que massa ( em kg ) têm os
iii. Abaixo de que valor medem as
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dados sobre alturas, envergaduras e massas de homens e mulheres, assumindo que essas medidas seguem uma distribuição normal. Vamos focar na altura dos homens para o item (a) i. Precisamos encontrar a probabilidade de um homem medir menos de 160 cm. Para resolver isso, vamos usar a distribuição normal e a tabela Z.
Passo 2
Para encontrar a probabilidade, primeiro calculamos o escore Z, que nos diz quantos desvios padrão um valor está da média. A fórmula do Z é:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos encontrar a probabilidade (160 cm),
- $ \mu $ é a média da altura dos homens (172 cm),
- $ \sigma $ é o desvio padrão da altura dos homens (7.2 cm).
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 4
Agora, usamos a tabela Z para encontrar a probabilidade correspondente a $ Z = -1.6667 $. A tabela Z nos dá a área à esquerda desse valor Z na distribuição normal padrão.
Passo 5
Consultando a tabela Z, encontramos que:
Isso significa que há aproximadamente 4,78% de chance de um homem medir menos de 160 cm.
Resposta
A probabilidade de um homem medir menos de 160 cm é aproximadamente 4,78%.