O famoso antropólogo Sir Francis Galton obteve no Laboratório de Antropologia na Exposição Internacional de 1884 diversas medidas relativas a adultos, algumas das quais se encontram sumariadas na tabela abaixo. Suponha que todas as variáveis em estudo têm distribuições normais com médias e desvios padrão dados nessa tabela.
Homens Mulheres
Variável mu sigma mu sigma
altura (cm) 172 7.2 161 6.6
envergadura (cm) 178 7.6 160 7.4
massa (kg) 64.9 7.03 55.8 6.49
(a) i. Qual a probabilidade de um homem medir menos do que 160 cm ?
ii. Acima de que massa ( em kg ) têm os 10 % homens mais pesados?
iii. Abaixo de que valor medem as 20 % mulheres mais baixas?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dados sobre alturas, envergaduras e massas de homens e mulheres, assumindo que essas medidas seguem uma distribuição normal. Vamos focar na altura dos homens para o item (a) i. Precisamos encontrar a probabilidade de um homem medir menos de 160 cm. Para resolver isso, vamos usar a distribuição normal e a tabela Z.

Passo 2

Para encontrar a probabilidade, primeiro calculamos o escore Z, que nos diz quantos desvios padrão um valor está da média. A fórmula do Z é:
Z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos encontrar a probabilidade (160 cm),
  • $ \mu $ é a média da altura dos homens (172 cm),
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da altura dos homens (7.2 cm).

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
Z = 160 - 1727.2 = -127.2 approx -1.6667

Passo 4

Agora, usamos a tabela Z para encontrar a probabilidade correspondente a $ Z = -1.6667 $. A tabela Z nos dá a área à esquerda desse valor Z na distribuição normal padrão.

Passo 5

Consultando a tabela Z, encontramos que:
P(Z < -1.6667) approx 0.0478
Isso significa que há aproximadamente 4,78% de chance de um homem medir menos de 160 cm.

Resposta

A probabilidade de um homem medir menos de 160 cm é aproximadamente 4,78%.

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