O que é fator de empacotamento (FEA)? Calcule o FEA para as estruturas cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de face centrada (CFC).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Definir o que é o fator de empacotamento ( \text{FEA}).
  • Calcular o \text{FEA} para a estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) e para a cúbica de face centrada (CFC).
Informações relevantes fornecidas ou assumidas:
  • As estruturas são redes cristalinas ideais: CCC (também chamada BCC) e CFC (também chamada FCC).
  • Átomos serão modelados como esferas rígidas idênticas que se tocam onde indicado (modelo de bolas duras).
  • É necessário obter expressões exatas e valores numéricos do \text{FEA}.

Passo 2

Definição e fórmula geral do fator de empacotamento:
  • O fator de empacotamento é a fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos (esferas). Em fórmula:
\text{FEA}=\frac{N\cdot V_{\text{átomo}}}{V_{\text{célula}}},áé
onde:
  • N é o número de átomos efetivos por célula unitária (contando frações de átomos nas posições de simetria);
  • V_{\text{átomo}}á é o volume de uma esfera de raio atômico r: V_{\text{átomo}}=\frac{4}{3}\pi r^{3};á
  • V_{\text{célula}}é é o volume da célula cúbica: V_{\text{célula}}=a^{3},écom a sendo a constante de rede (aresta do cubo).
  • Plano de ação: para cada rede (CCC e CFC) determinar N e a relação entre a e r, então substituir na fórmula acima e simplificar.

Passo 3

Contagem de átomos e relação a versus r para CCC (BCC):
  • Contagem: a célula cúbica tem 8 átomos nos cantos, cada um pertencendo a 8 células (fração 1/8 cada), e 1 átomo no centro da célula (pertence inteiramente àquela célula). Assim
N = 8\cdot\frac{1}{8} + 1 = 1 + 1 = 2.
  • Relação geométrica a r: em CCC os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial que liga cantos opostos passando pelo átomo central). O comprimento da diagonal do cubo é \sqrt{3}\,a e ao longo dessa diagonal há dois raios do átomo de canto até o centro mais mais dois raios do centro até o canto oposto, totalizando 4r. Logo
\sqrt{3}\,a = 4r \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4r}{\sqrt{3}}.
(Explicação rápida: o átomo central toca cada átomo de canto; a distância centro–canto é 2r; a diagonal total entre cantos é duas vezes essa distância, 4r.)

Passo 4

Cálculo do \text{FEA} para CCC (substituição e simplificação):
  • Substituir N=2, V_{\text{átomo}}=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}á e V_{\text{célula}}=a^{3}é com a=\dfrac{4r}{\sqrt{3}}:
\text{FEA}_{\text{CCC}} = \frac{2\cdot\left(\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\right)}{\left(\dfrac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3}}.
  • Calcular o denominador:
\left(\dfrac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3} = \dfrac{64\,r^{3}}{(\sqrt{3})^{3}} = \dfrac{64\,r^{3}}{3\sqrt{3}}.
  • Agora simplificar:
\text{FEA}_{\text{CCC}} = \frac{\dfrac{8}{3}\pi r^{3}}{\dfrac{64}{3\sqrt{3}}\,r^{3}} = \frac{8\pi}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{64} = \frac{8\pi\sqrt{3}}{64} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8}.
  • Valor numérico (usar \pi\approx3{,}14159 e \sqrt{3}\approx1{,}73205):
\text{FEA}_{\text{CCC}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx0{,}68017.

Passo 5

Contagem de átomos e relação a versus r para CFC (FCC):
  • Contagem: a célula tem 8 átomos nos cantos ( 8\cdot\frac{1}{8}=1 efetivo) e 6 átomos nas faces, cada um pertencendo a duas células ( 6\cdot\frac{1}{2}=3 efetivos). Assim
N = 1 + 3 = 4.
  • Relação geométrica a r: em CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face do cubo. O comprimento da diagonal da face é \sqrt{2}\,a e ao longo dessa diagonal existem centros correspondendo a dois átomos de canto e um átomo de face entre eles, totalizando 4r. Portanto
\sqrt{2}\,a = 4r \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r.

Passo 6

Cálculo do \text{FEA} para CFC (substituição e simplificação):
  • Substituir N=4, V_{\text{átomo}}=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}á e V_{\text{célula}}=a^{3}é com a=2\sqrt{2}\,r:
\text{FEA}_{\text{CFC}} = \frac{4\cdot\left(\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\right)}{(2\sqrt{2}\,r)^{3}}.
  • Calcular o denominador:
(2\sqrt{2}\,r)^{3} = 8\cdot(\sqrt{2})^{3}\,r^{3} = 8\cdot 2\sqrt{2}\,r^{3} = 16\sqrt{2}\,r^{3}.
  • Simplificar:
\text{FEA}_{\text{CFC}} = \frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\,r^{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}.
  • Valor numérico (usar \sqrt{2}\approx1{,}41421):
\text{FEA}_{\text{CFC}}=\frac{\pi\sqrt{2}}{6}\approx0{,}74048.

Passo 7

Interpretação e observações finais (rápidas e motivadoras):
  • Resultado: a estrutura CFC é mais densa que a CCC: \text{FEA}_{\text{CFC}}\approx0{,}74048 maior que \text{FEA}_{\text{CCC}}\approx0{,}68017.
  • Nota útil para prova: o valor \approx0{,}74048 (exato \tfrac{\pi\sqrt{2}}{6}) é também o fator de empacotamento das estruturas CFC e HCP — são as estruturas de empacotamento mais eficientes para esferas idênticas.

Resposta

\text{FEA}_{\text{CCC}}=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx0{,}68017\n
\text{FEA}_{\text{CFC}}=\dfrac{\pi\sqrt{2}}{6}\approx0{,}74048

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