O que é fator de empacotamento (FEA)? Calcule o FEA para as estruturas cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de face centrada (CFC).
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Definir o que é o fator de empacotamento (
). - Calcular o
para a estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) e para a cúbica de face centrada (CFC).
Informações relevantes fornecidas ou assumidas:
- As estruturas são redes cristalinas ideais: CCC (também chamada BCC) e CFC (também chamada FCC).
- Átomos serão modelados como esferas rígidas idênticas que se tocam onde indicado (modelo de bolas duras).
- É necessário obter expressões exatas e valores numéricos do
.
Passo 2
Definição e fórmula geral do fator de empacotamento:
- O fator de empacotamento é a fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos (esferas). Em fórmula:
onde:
-
é o número de átomos efetivos por célula unitária (contando frações de átomos nas posições de simetria); -
é o volume de uma esfera de raio atômico : -
é o volume da célula cúbica: com sendo a constante de rede (aresta do cubo). - Plano de ação: para cada rede (CCC e CFC) determinar
e a relação entre e , então substituir na fórmula acima e simplificar.
Passo 3
Contagem de átomos e relação
versus
para CCC (BCC):
- Contagem: a célula cúbica tem
átomos nos cantos, cada um pertencendo a células (fração cada), e átomo no centro da célula (pertence inteiramente àquela célula). Assim
- Relação geométrica
– : em CCC os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial que liga cantos opostos passando pelo átomo central). O comprimento da diagonal do cubo é e ao longo dessa diagonal há dois raios do átomo de canto até o centro mais mais dois raios do centro até o canto oposto, totalizando . Logo
(Explicação rápida: o átomo central toca cada átomo de canto; a distância centro–canto é
; a diagonal total entre cantos é duas vezes essa distância,
.)
Passo 4
Cálculo do
para CCC (substituição e simplificação):
- Substituir
, e com :
- Calcular o denominador:
- Agora simplificar:
- Valor numérico (usar
e ):
Passo 5
Contagem de átomos e relação
versus
para CFC (FCC):
- Contagem: a célula tem
átomos nos cantos ( efetivo) e átomos nas faces, cada um pertencendo a duas células ( efetivos). Assim
- Relação geométrica
– : em CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face do cubo. O comprimento da diagonal da face é e ao longo dessa diagonal existem centros correspondendo a dois átomos de canto e um átomo de face entre eles, totalizando . Portanto
Passo 6
Cálculo do
para CFC (substituição e simplificação):
- Substituir
, e com :
- Calcular o denominador:
- Simplificar:
- Valor numérico (usar
):
Passo 7
Interpretação e observações finais (rápidas e motivadoras):
- Resultado: a estrutura CFC é mais densa que a CCC:
maior que . - Nota útil para prova: o valor
(exato ) é também o fator de empacotamento das estruturas CFC e HCP — são as estruturas de empacotamento mais eficientes para esferas idênticas.