Fatore completamente as expressões algébricas:
(c) x^{2}-5 x+6 \Rightarrow(x-2)(x-3)

Passo 1

O enunciado dá a expressão polinomial e pede que ela seja fatorada completamente. Informações que temos:
  • A expressão é \;x^{2}-5x+6.
  • A tarefa: escrever essa expressão como um produto de fatores polinomiais de grau 1 (fatoração completa).

Passo 2

Ideia básica para fatorar um quadrático monico (coeficiente de x^{2} igual a 1): procurar dois números m e n tais que
m+n = \text{coeficiente de }x = -5
e
m\cdot n = \text{termo constante} = 6.
Explicação do porquê: se existir tal par m,n, então
(x+m)(x+n)=x^{2}+(m+n)x+mn,
que é exatamente a forma de um quadrático monico. Aqui o objetivo é encontrar m e n que satisfaçam as duas igualdades acima.

Passo 3

Listar pares de números cujo produto é 6. Como 6>0, os dois números têm o mesmo sinal; como a soma precisa ser negativa ( -5), os dois devem ser negativos. Possíveis pares (considerando ordem irrelevante):
  • -1 e -6: produto (-1)\cdot(-6)=6, soma -1+(-6)=-7.
  • -2 e -3: produto (-2)\cdot(-3)=6, soma -2+(-3)=-5.

Passo 4

Encontramos o par que satisfaz ambas as condições: m=-2 e n=-3, pois
m+n = -2 + (-3) = -5, \qquad m\cdot n = (-2)\cdot(-3)=6.
Portanto a decomposição do trinômio em fatores lineares é obtida substituindo m e n na forma (x+m)(x+n).

Passo 5

Verificação rápida (expandir para checar): tomando os fatores (x-2) e (x-3),
(x-2)(x-3)=x^{2}-3x-2x+6=x^{2}-5x+6,
que coincide com o polinômio original. Assim a fatoração está correta.

Passo 6

Checagem alternativa pelo método da fórmula de Bhaskara (apenas para confirmar): para ax^{2}+bx+c com a=1, b=-5, c=6,
\Delta=b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot6 = 25-24=1.
As raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm1}{2},
ou seja x=3 e x=2. Esses zeros correspondem aos fatores (x-3) e (x-2), confirmando a fatoração.

Resposta

(x-2)(x-3)