Fatore as expressões abaixo, colocando o fator comum em evidência:
(x+1)^{4}+3(x+1)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a expressão (x+1)^{4} + 3(x+1)^{3} e pede que ela seja fatorada, colocando o fator comum em evidência.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os termos são (x+1)^{4} e 3(x+1)^{3}.
    O que se pede:
  • Encontrar um fator comum e reescrever a expressão como um produto (fator comum) × (parêntese simplificado).

Passo 2

Conceito importante (fator comum e propriedade distributiva).
A propriedade distributiva diz que, para quaisquer expressões a,b,c,
a b + a c = a(b + c).
Aqui a é o fator comum que aparece em ambos os termos, e b,c são os fatores restantes de cada termo após retirar a. Essa é a ferramenta que vamos usar: identificar a e “colocar em evidência”.

Passo 3

Identificar o fator comum entre os termos.
Os termos são (x+1)^{4} e 3(x+1)^{3}. Ambos contêm a expressão (x+1) elevada a uma potência. O menor expoente comum é 3 (pois aparecem potências 4 e 3), logo o maior fator comum que se pode fatorar é (x+1)^{3}.
Para ver isso escrevemos cada termo destacando (x+1)^{3}:
(x+1)^{4} = (x+1)^{3}\cdot (x+1), \qquad 3(x+1)^{3} = (x+1)^{3}\cdot 3.

Passo 4

Aplicar a propriedade distributiva para colocar (x+1)^{3} em evidência:
(x+1)^{4} + 3(x+1)^{3} = (x+1)^{3}\big((x+1) + 3\big).
Agora simplificamos o que está dentro dos parênteses:
(x+1) + 3 = x + 1 + 3 = x + 4.
Portanto a expressão fatorada fica
(x+1)^{3}(x+4).

Passo 5

Verificação rápida (expandindo de volta para conferir): começar de (x+1)^{3}(x+4).
(x+1)^{3}(x+4) = (x+1)^{3}\cdot(x+1) + (x+1)^{3}\cdot 3 = (x+1)^{4} + 3(x+1)^{3},
que é a expressão original. Confere certinho.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (ansioso, eu sei — respira): ao fatorar, sempre procure primeiro o maior fator comum (em expressões com potências, é a menor potência comum); depois aplique a b + a c = a(b+c). Exemplo extra curto para treinar: fatorar x^{5}+x^{3} x^{3}(x^{2}+1).

Resposta

(x+1)^{3}(x+4)