Numa fazenda deseja-se construir uma pequena barragem retangular de pedra, assentada sobre rocha. Altura da barragem e profundidade de água: 1,20 m. Determinar a espessura de modo a satisfazer as condições de estabilidade. (gamma=2.250 kgf / m^3 - alvenaria de pedra)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz assim: “Temos uma barragem retangular de alvenaria de pedra, com altura e profundidade de água de 1,20 m. A densidade da pedra é γ = 2250 kgf/m³. Calcular a espessura da base (b) para que a barragem não tombe nem deslize.”
Conteúdo: estática de corpos rígidos (equilíbrio de forças e momentos) e mecânica dos fluidos (força hidrostática). Vamos precisar da densidade da água (γw=1000 kgf/m³), da fórmula da força hidrostática sobre parede vertical e das condições de equilíbrio (momentos resistente ≥ fator de segurança × momento atuante).

Passo 2

Primeiro, calcula a força hidrostática resultante P sobre um trecho unitário de comprimento (1 m) da barragem:
P = ∫₀ʰ γw·z·1 dz = γw · h²/2
Substituindo γw=1000 kgf/m³ e h=1,20 m:
P = 1000 times (1,20)^22 = 1000 times 1,442 = 720 kgf

Passo 3

Agora o momento M₀ dessa força em torno do pé (toe) da barragem:
O ponto de aplicação fica a h/3 do fundo, então
M0 = P times h3 = 720 times 1,203 = 720 times 0,40 = 288 kgf·m

Passo 4

Calcula o peso W da barragem por metro de comprimento (considerando espessura b):
W = gammam times área = 2250 times (b times h) = 2250 times (b times 1,20) = 2700,b kgfá

Passo 5

O momento resistente Mᵣ (que tenta impedir o tombamento) é esse peso atuando no centro da base, a b/2 do pé:
Mr = W times b2 = (2700,b),b2 = 1350,b^2 kgf·m

Passo 6

Adotamos um fator de segurança contra tombamento Fs = 2. Logo, a condição é
Mr >= Fs times M0 Longrightarrow 1350,b^2 >= 2 times 288 = 576
Isolando b:
b^2 >= 5761350 approx 0,4267 Longrightarrow b >= raiz0,4267 approx 0,653 m

Passo 7

Só pra garantir, conferimos a condição de não deslizamento. A força de atrito máxima é μ·W. Tomando μ≈0,6:
Atrito = 0,6·2700 b = 1620 b;
Para não deslizar precisa 1620 b ≥ 720 ⇒ b ≥ 0,444 m.
Então o tombamento é o crítico.

Resposta

A espessura mínima da base deve ser cerca de 0,65 m (ou 65 cm) para garantir estabilidade.

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