Um fazendeiro quer drenar água a 10^{\circ} \mathrm{C} de um lago a 1200 m de um campo posicionado a uma distância de 3 m abaixo da superfície do lago. Que tamanho do tubo de drenagem deve ser escolhido se ele quer drenar 400 L de água a cada minuto? Use:
(b) A Equação de Swamee & Jain (Categoria 3 - dimensionamento de diâmetro)

Passo 1

O problema é dimensionar o diâmetro D de uma tubulação de comprimento L=1200 m que drena 400 L/min de água a 10^\circC com uma diferença de nível de 3 m entre lago e campo. O conteúdo envolve escoamento em tubulação pressurizada e uso da Equação explícita de Swamee & Jain (categoria 3: dimensionamento de diâmetro). Para resolver precisamos de:
– Converter Q para \text{m}^3/\text{s}.
– Obter a viscosidade cinemática \nu da água a 10^\circC.
– Assumir rugosidade absoluta \epsilon (ex.: aço comercial \epsilon=4{,}5\times10^{-5} m).
– Calcular o fator de atrito f via Swamee & Jain e empregar a equação de D a partir da perda de carga.

Passo 2

Converter a vazão e anotar propriedades da água a 10^\circC:
Q=\frac{400}{1000\cdot60} = 0{,}006667\;\text{m}^3/\text{s}, \quad \nu = 1{,}307\times10^{-6}\;\text{m}^2/\text{s}, \quad g=9{,}81\;\text{m/s}^2, \quad \epsilon = 4{,}5\times10^{-5}\;\text{m}.

Passo 3

Da equação de Darcy–Weisbach e Q=A\,v com A=\pi D^2/4, obtém‐se isolando D:
h_L = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}, \quad v=\frac{4Q}{\pi D^2} \quad\Longrightarrow\quad D = \Biggl[\frac{8\,f\,L\,Q^2}{\pi^2\,g\,h_L}\Biggr]^{1/5}.

Passo 4

O fator de atrito f é dado explicitamente por Swamee & Jain:
f = 0{,}25\;\Bigl[\log_{10}\!\bigl(\tfrac{\epsilon}{3,7\,D} \;+\;\tfrac{5,74}{Re^{0,9}}\bigr)\Bigr]^{-2}, \quad Re = \frac{4\,Q}{\pi\,\nu\,D}.

Passo 5

Fazemos iteração começando em D_0=0{,}10 m:
  1. Calcular Re=\tfrac{4Q}{\pi\nu D_0}\approx6{,}5\times10^4.
  2. Calcular
f_0 = 0{,}25\Bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{4{,}5\times10^{-5}}{3,7\cdot0{,}10} + \tfrac{5,74}{Re^{0,9}}\bigr)\Bigr]^{-2} \approx0{,}0215.
  1. Avaliar
D_1 = \Bigl[\tfrac{8\,f_0\,L\,Q^2}{\pi^2\,g\,h_L}\Bigr]^{1/5} \approx0{,}127\;\text{m}.
Repetindo a iteração (com D_1) o valor converge para cerca de 0{,}127 m.

Passo 6

O diâmetro calculado é
D \approx 0{,}127\;\text{m}.
Em prática adota‐se o próximo diâmetro comercial disponível.

Resposta

Diâmetro aproximado D\approx0{,}127 m (adotar tubulação comercial de 130 mm).

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