Um feixe de elétrons com uma energia cinética K=2,0 \mathrm{eV} incide sobre uma barreira de potencial de altura V_{0}= 6,5 \mathrm{eV} e largura L=5 \AA Å. Que fração dos elétrons conseguem transpor a barreira?

Passo 1

O enunciado dá um feixe de elétrons com energia cinética \,K=2{,}0\;\mathrm{eV}\, que incide numa barreira retangular de potencial de altura \,V_{0}=6{,}5\;\mathrm{eV}\, e largura \,L=5\;\AA=5\times10^{-10}\;\mathrm{m}\,. Como K<V_{0}, parte dos elétrons túnela quânticamente a barreira. O conteúdo é o cálculo do coeficiente de transmissão T para túnel num potencial retangular, que vai nos dar a fração dos elétrons transmitidos.

Passo 2

Para um elétron de energia E<K<V_{0} atravessando uma barreira retangular, define-se
\kappa = \sqrt{\frac{2m\,(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}
e o coeficiente de transmissão é
T \;=\;\frac{1}{1 \;+\;\dfrac{V_{0}^{2}}{4\,E\,(V_{0}-E)}\,\operatorname{sinh}^{2}(\kappa L)}.

Passo 3

Convertendo para o SI:
E=2{,}0\;\mathrm{eV}\,,\quad V_{0}-E=4{,}5\;\mathrm{eV}\,,\quad1\;\mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\;\mathrm{J},
m=9{,}11\times10^{-31}\;\mathrm{kg},\quad \hbar=1{,}055\times10^{-34}\;\mathrm{J\,s}.
Então
V_{0}-E=4{,}5\times1{,}602\times10^{-19}=7{,}209\times10^{-19}\;\mathrm{J},
2m\,(V_{0}-E)=2\cdot9{,}11\times10^{-31}\cdot7{,}209\times10^{-19}=1{,}314\times10^{-48}\;\mathrm{J^{2}\,s^{2}/m^{2}},
\kappa=\frac{\sqrt{1{,}314\times10^{-48}}}{1{,}055\times10^{-34}} =1{,}09\times10^{10}\;\mathrm{m^{-1}}.

Passo 4

Calculemos \kappa L e \operatorname{sinh}(\kappa L):
\kappa L =1{,}09\times10^{10}\times5\times10^{-10}=5{,}435,
\operatorname{sinh}(5{,}435)\approx\frac{e^{5{,}435}-e^{-5{,}435}}{2}\approx114{,}65, \quad \operatorname{sinh}^{2}(5{,}435)\approx(114{,}65)^{2}=1{,}315\times10^{4}.

Passo 5

Agora o fator à frente de \operatorname{sinh}^{2}(\kappa L):
\frac{V_{0}^{2}}{4\,E\,(V_{0}-E)} =\frac{6{,}5^{2}}{4\cdot2{,}0\cdot4{,}5} =\frac{42{,}25}{36}=1{,}1736.
Logo
1+\frac{V_{0}^{2}}{4E(V_{0}-E)}\,\operatorname{sinh}^{2}(\kappa L) =1+1{,}1736\times1{,}315\times10^{4} \approx1{,}5429\times10^{4},
T=\frac{1}{1,5429\times10^{4}} \approx6,48\times10^{-5}.

Resposta

A fração dos elétrons que conseguem transpor a barreira é aproximadamente
T\approx6,5\times10^{-5},
ou seja, cerca de 0{,}0065\% dos elétrons incidem atravessam a barreira.

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