14.1 Uma bomba centrífuga fornece 0,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água quando operando a 850 rpm . As dimensões relevantes do impelidor são: diâmetro externo =0,45 \mathrm{~m}; comprimento da pá =50 \mathrm{~cm} e ângulo da pá na saída =24^{\circ}. Determine (a) o torque e a potência requeridos para direcionar a bomba e (b) o aumento máximo de pressão na bomba.

Passo 1

O enunciado descreve uma bomba centrífuga que escoa água com vazão Q=0{,}2\\ \mathrm{m^3/s} a N=850\\ \mathrm{rpm}. O rotor (impelidor) tem diâmetro externo D_2=0{,}45\\ \mathrm{m} (logo r_2=0{,}225\\ \mathrm{m}), largura axial b=0{,}50\\ \mathrm{m} e ângulo da pá na saída \beta_2=24^\circ.
Conteúdo: iremos usar
  1. Teorema do momento angular (equação de Euler) para achar o torque e a potência:
T = \dot m\,(r_2V_{u2}-r_1V_{u1})\approx \rho Q\,r_2V_{u2},
P = T\,\omega.
  1. Equação de Euler para turbomáquinas para o salto de pressão:
\Delta p = \rho\,(U_2V_{u2}-U_1V_{u1})\approx \rho\,U_2V_{u2}.

Passo 2

Calculamos a velocidade radial de escoamento na saída do impelidor:
V_{r2} = \frac{Q}{A_2} \quad\text{com}\quad A_2 = 2\pi r_2\,b.
Substituindo números:
A_2 = 2\pi(0{,}225)(0{,}50)\approx0{,}7069\\ \mathrm{m^2},
V_{r2} = \frac{0{,}2}{0{,}7069}\approx0{,}283\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

No triângulo de velocidades na saída:
– velocidade relativa à pá na direção tangencial
V_{u2,\mathrm{rel}} = V_{r2}\,\tan\beta_2 =0{,}283\;\tan(24^\circ)\approx0{,}126\\ \mathrm{m/s}.
– velocidade periférica da pá (blade tip speed)
\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi\,(850)}{60}\approx88{,}96\\ \mathrm{rad/s},
U_2 = \omega\,r_2 =88{,}96\,(0{,}225)\approx20{,}02\\ \mathrm{m/s}.
– componente tangencial absoluta na saída
V_{u2} = U_2 - V_{u2,\mathrm{rel}} \approx20{,}02 - 0{,}126 =19{,}89\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Torque:
T = \rho\,Q\,r_2\,V_{u2} =1000\,(0{,}2)\,(0{,}225)\,(19{,}89) \approx895\\ \mathrm{N\cdot m}.
Potência:
P = T\,\omega \approx895\,(88{,}96)\approx7{,}96\times10^4\\ \mathrm{W} \approx79{,}6\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Aumento máximo de pressão dado pela forma de Euler (sem pré-rotação):
\Delta p = \rho\,U_2\,V_{u2} =1000\,(20{,}02)\,(19{,}89) \approx3,98\times10^5\\ \mathrm{Pa} \approx398\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

(a) Torque T\approx895\\ \mathrm{N\cdot m} e potência P\approx79{,}6\\ \mathrm{kW}.
(b) Aumento máximo de pressão \Delta p\approx3,98\times10^5\\ \mathrm{Pa} ( \approx 398 kPa).