8.1 Expresse a equação (8-9) em termos da vazão e do diâmetro do tubo. Se o diâmetro do tubo for dobrado a uma queda de pressão constante, qual a variação percentual que ocorrerá na vazão?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Expressar a equação (8-9), que em escoamento laminar em tubo cilíndrico relaciona a queda de pressão \Delta P com a velocidade média V, em termos da vazão volumétrica Q e do diâmetro D.
  2. Calcular, mantendo \Delta P constante, a variação percentual de Q se D for dobrado.
    O conteúdo usado será o escoamento laminar em tubo (lei de Poiseuille) e a relação entre Q e V.

Passo 2

Na forma original a equação (8-9) pode ser escrita como
\Delta P \;=\; \frac{32\,\mu\,L}{D^2}\;V
onde \mu é a viscosidade, L é o comprimento do tubo e V é a velocidade média do fluido.

Passo 3

A vazão volumétrica Q e a velocidade média V estão ligadas por
Q = A\,V \quad\text{com}\quad A = \frac{\pi D^2}{4}\,,
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V = \frac{Q}{A} = \frac{4\,Q}{\pi\,D^2}\,.
Substituindo em \Delta P = \tfrac{32\mu L}{D^2}V
\Delta P = \frac{32\,\mu\,L}{D^2}\,\frac{4\,Q}{\pi\,D^2} = \frac{128\,\mu\,L\,Q}{\pi\,D^4}\,.

Passo 4

Despejando Q em função de \Delta P e D, obtemos
Q = \frac{\pi\,D^4\,\Delta P}{128\,\mu\,L}\,.
Esta é a forma pedida, expressando a equação em termos de Q e D.

Passo 5

Mantendo \Delta P, \mu e L constantes, vê-se que
Q \propto D^4.
Se dobrarmos o diâmetro D_2=2D_1, então
\frac{Q_2}{Q_1} = \Bigl(\frac{D_2}{D_1}\Bigr)^{4} = 2^4 = 16.
O aumento percentual em Q é
\bigl(16 - 1\bigr)\times 100\% = 1500\%.

Resposta

A equação em termos de Q e D é
Q = \frac{\pi\,D^4\,\Delta P}{128\,\mu\,L}\,.
Ao dobrar D com \Delta P constante, a vazão aumenta em 1500 %.