4- a- O ferro tem estrutura cúbica de corpo centrado a temperatura ambiente. Calcule o parâmetro de rede e o fator de empacotamento atômico para o ferro nestas condições.
e F.E
b- A
o ferro passa de estrutura cúbica de corpo centrado para estrutura cúbica de face centrada.
Calcule o parâmetro de rede e o fator de empacotamento atômico para o ferro nestas condições.
e
c- Calcule a densidade para o ferro ccc e para o ferro cfc.
d- Há variação de volume quando o ferro é aquecido, ou seja, na passagem da estrutura ccc para cfc?
Em caso afirmativo calcule o % de variação de volume.
Dados:
b- A
Calcule o parâmetro de rede e o fator de empacotamento atômico para o ferro nestas condições.
c- Calcule a densidade para o ferro ccc e para o ferro cfc.
d- Há variação de volume quando o ferro é aquecido, ou seja, na passagem da estrutura ccc para cfc?
Em caso afirmativo calcule o % de variação de volume.
Dados:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos:
- Perguntas:
- (a) Calcular o parâmetro de rede
e o fator de empacotamento atômico (F.E.) para o ferro em estrutura cúbica de corpo centrado (CCC). - (b) Calcular o parâmetro de rede
e o fator de empacotamento atômico (F.E.) para o ferro em estrutura cúbica de face centrada (CFC). - (c) Calcular a densidade
do ferro na fase CCC e na fase CFC. - (d) Verificar se há variação de volume na transformação CCC
CFC e calcular a variação percentual de volume (caso exista).
- (a) Calcular o parâmetro de rede
- Dados fornecidos e constantes que usarei:
- Raio atômico do ferro:
. - Massa atômica (massa molar):
. - Número de Avogadro:
.
- Raio atômico do ferro:
- Observação: o enunciado já mostra os valores esperados de
e F.E. para cada estrutura ( , F.E. ; , F.E. ). Vou derivar esses valores a partir de e depois calcular as densidades e a variação de volume.
Passo 2
Relação geométrica entre raio atômico
e parâmetro de rede
nas duas estruturas (explicação didática):
- CCC (body-centered cubic): os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo que atravessa o corpo. O comprimento da diagonal do cubo é
. Nessa diagonal encontramos 4 raios atômicos somados (do canto até o átomo do centro e até o canto oposto), logo vale a relação
Desse modo
- CFC (face-centered cubic): os átomos se tocam ao longo da diagonal de uma face do cubo. O comprimento da diagonal da face é
. Nessa diagonal há 4 raios atômicos (do canto até o átomo do centro da face e até o canto oposto), logo
e
Agora calculo os parâmetros numéricos usando
.
Cálculo para CCC:
Cálculo para CFC:
Passo 3
Fator de empacotamento atômico (F.E.) — explicação do conceito e fórmula:
- F.E. é a fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos (modelados como esferas rígidas). A fórmula geral é
onde
é o número de átomos por célula unitária,
é o volume de uma esfera de raio
e
é o volume do cubo de aresta
.
- Para CCC temos
. Substituindo e simplificando (álgebra mostrada na prática) chega-se à expressão teórica conhecida:
- Para CFC temos
. Substituindo obtém-se a expressão teórica:
Portanto, os valores numéricos coincidem com os do enunciado:
Passo 4
Cálculo das densidades — receita e interpretação:
- Fórmula usada: a densidade da fase cristalina é a massa de átomos por célula dividida pelo volume da célula:
onde:
-
é o número de átomos por célula ( , ), -
é a massa molar em , -
é o número de Avogadro, -
é o parâmetro de rede em .
Calculo numérico passo a passo usando os
obtidos:
CCC:
Massa por célula:
Densidade:
CFC:
Massa por célula:
Densidade:
Interpretação rápida: ao passar de CCC para CFC a densidade aumenta (de
para
), o que indica um empacotamento mais eficiente no CFC (maior F.E.).
Passo 5
Variação de volume na transformação CCC
CFC — como comparar corretamente:
- Importante: a célula unitária da CCC contém
átomos, enquanto a da CFC contém átomos. Para comparar “o volume ocupado por cada átomo” (isto é, o volume por átomo) é mais coerente calcular o volume atômico
Calculo dos volumes por átomo:
Para CCC:
Para CFC:
Variação percentual de volume por átomo (CFC em relação a CCC):
Substituindo:
Conclusão: há variação de volume — o volume por átomo diminui ao passar de CCC para CFC; a redução é de aproximadamente
. (Isso coincide com o aumento da densidade calculado no Passo 4.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Sim — o volume por átomo diminui ao passar CCC
CFC; variação percentual
(redução de
).