4- a- O ferro tem estrutura cúbica de corpo centrado a temperatura ambiente. Calcule o parâmetro de rede e o fator de empacotamento atômico para o ferro nestas condições.
\mathbf{R}=\mathbf{a}=\mathbf{2 , 8 6 x 1 0} \mathbf{1 0}^{-\mathbf{8}} \mathrm{cm} e F.E =\mathbf{0 , 6 8}
b- A 910^{\circ} \mathrm{C} o ferro passa de estrutura cúbica de corpo centrado para estrutura cúbica de face centrada.
Calcule o parâmetro de rede e o fator de empacotamento atômico para o ferro nestas condições.
\mathbf{R}=\mathbf{a}=\mathbf{3 , 5 1} \times 10^{-8} \mathrm{~cm} e \mathbf{F . E}=\mathbf{0 , 7 4}
c- Calcule a densidade para o ferro ccc e para o ferro cfc.
d- Há variação de volume quando o ferro é aquecido, ou seja, na passagem da estrutura ccc para cfc?
Em caso afirmativo calcule o % de variação de volume.
Dados: \mathrm{RFe}=1,24 \times 10^{-8} \mathrm{~cm}, \mathrm{~A}=55,8 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Perguntas:
    • (a) Calcular o parâmetro de rede a e o fator de empacotamento atômico (F.E.) para o ferro em estrutura cúbica de corpo centrado (CCC).
    • (b) Calcular o parâmetro de rede a e o fator de empacotamento atômico (F.E.) para o ferro em estrutura cúbica de face centrada (CFC).
    • (c) Calcular a densidade \rho do ferro na fase CCC e na fase CFC.
    • (d) Verificar se há variação de volume na transformação CCC \to CFC e calcular a variação percentual de volume (caso exista).
  • Dados fornecidos e constantes que usarei:
    • Raio atômico do ferro: R_{\rm Fe}=1{,}24\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
    • Massa atômica (massa molar): A=55{,}8\\ \mathrm{g/mol}.
    • Número de Avogadro: N_A=6{,}022\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • Observação: o enunciado já mostra os valores esperados de a e F.E. para cada estrutura ( a_{\rm CCC}\approx 2{,}86\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}, F.E. \approx 0{,}68; a_{\rm CFC}\approx 3{,}51\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}, F.E. \approx 0{,}74). Vou derivar esses valores a partir de R_{\rm Fe} e depois calcular as densidades e a variação de volume.

Passo 2

Relação geométrica entre raio atômico R e parâmetro de rede a nas duas estruturas (explicação didática):
  • CCC (body-centered cubic): os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo que atravessa o corpo. O comprimento da diagonal do cubo é \sqrt{3}\,a. Nessa diagonal encontramos 4 raios atômicos somados (do canto até o átomo do centro e até o canto oposto), logo vale a relação
4R=\sqrt{3}\,a.
Desse modo
a=\frac{4R}{\sqrt{3}}.
  • CFC (face-centered cubic): os átomos se tocam ao longo da diagonal de uma face do cubo. O comprimento da diagonal da face é \sqrt{2}\,a. Nessa diagonal há 4 raios atômicos (do canto até o átomo do centro da face e até o canto oposto), logo
4R=\sqrt{2}\,a,
e
a=\frac{4R}{\sqrt{2}}.
Agora calculo os parâmetros numéricos usando R_{\rm Fe}=1{,}24\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Cálculo para CCC:
a_{\rm CCC}=\frac{4R_{\rm Fe}}{\sqrt{3}}=\frac{4\cdot 1{,}24\times 10^{-8}}{\sqrt{3}} =\frac{4{,}96\times 10^{-8}}{1{,}732} \approx 2{,}86\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Cálculo para CFC:
a_{\rm CFC}=\frac{4R_{\rm Fe}}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot 1{,}24\times 10^{-8}}{\sqrt{2}} =\frac{4{,}96\times 10^{-8}}{1{,}414} \approx 3{,}51\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Fator de empacotamento atômico (F.E.) — explicação do conceito e fórmula:
  • F.E. é a fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos (modelados como esferas rígidas). A fórmula geral é
\text{F.E.}=\frac{n\cdot V_{\rm átomo}}{V_{\rm célula}}áé
onde n é o número de átomos por célula unitária, V_{\rm átomo}=\tfrac{4}{3}\pi R^{3}á é o volume de uma esfera de raio R e V_{\rm célula}=a^{3}é é o volume do cubo de aresta a.
  • Para CCC temos n=2. Substituindo a=\tfrac{4R}{\sqrt{3}} e simplificando (álgebra mostrada na prática) chega-se à expressão teórica conhecida:
\text{F.E.}_{\rm CCC}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}68017\approx 0{,}68.
  • Para CFC temos n=4. Substituindo a=\tfrac{4R}{\sqrt{2}} obtém-se a expressão teórica:
\text{F.E.}_{\rm CFC}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048\approx 0{,}74.
Portanto, os valores numéricos coincidem com os do enunciado:
a_{\rm CCC}\approx 2{,}86\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm},\qquad \text{F.E.}_{\rm CCC}\approx 0{,}68,
a_{\rm CFC}\approx 3{,}51\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm},\qquad \text{F.E.}_{\rm CFC}\approx 0{,}74.

Passo 4

Cálculo das densidades — receita e interpretação:
  • Fórmula usada: a densidade da fase cristalina é a massa de átomos por célula dividida pelo volume da célula:
\rho=\frac{m_{\rm célula}}{V_{\rm célula}}=\frac{n\cdot A/N_A}{a^{3}}éé
onde:
  • n é o número de átomos por célula ( n_{\rm CCC}=2, n_{\rm CFC}=4),
  • A é a massa molar em \mathrm{g/mol},
  • N_A é o número de Avogadro,
  • a é o parâmetro de rede em \mathrm{cm}.
Calculo numérico passo a passo usando os a obtidos:
CCC:
V_{\rm célula,CCC}=a_{\rm CCC}^{3}=(2{,}86\times 10^{-8})^{3} \approx 2{,}3407\times 10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.é
Massa por célula:
m_{\rm célula,CCC}=\frac{n\cdot A}{N_A}=\frac{2\cdot 55{,}8}{6{,}022\times 10^{23}} \approx 1{,}8527\times 10^{-22}\\ \mathrm{g}.é
Densidade:
\rho_{\rm CCC}=\frac{1{,}8527\times 10^{-22}}{2{,}3407\times 10^{-23}} \approx 7{,}92\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
CFC:
V_{\rm célula,CFC}=a_{\rm CFC}^{3}=(3{,}51\times 10^{-8})^{3} \approx 4{,}324\times 10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.é
Massa por célula:
m_{\rm célula,CFC}=\frac{4\cdot 55{,}8}{6{,}022\times 10^{23}} \approx 3{,}7054\times 10^{-22}\\ \mathrm{g}.é
Densidade:
\rho_{\rm CFC}=\frac{3{,}7054\times 10^{-22}}{4{,}324\times 10^{-23}} \approx 8{,}57\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Interpretação rápida: ao passar de CCC para CFC a densidade aumenta (de \approx 7{,}92 para \approx 8{,}57\\ \mathrm{g/cm^{3}}), o que indica um empacotamento mais eficiente no CFC (maior F.E.).

Passo 5

Variação de volume na transformação CCC \to CFC — como comparar corretamente:
  • Importante: a célula unitária da CCC contém 2 átomos, enquanto a da CFC contém 4 átomos. Para comparar “o volume ocupado por cada átomo” (isto é, o volume por átomo) é mais coerente calcular o volume atômico
V_{\rm átomo}=\frac{V_{\rm célula}}{n}.áé
Calculo dos volumes por átomo:
Para CCC:
V_{\rm átomo,CCC}=\frac{V_{\rm célula,CCC}}{2}=\frac{2{,}3407\times 10^{-23}}{2} =1{,}17035\times 10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}/átomo}.áéá
Para CFC:
V_{\rm átomo,CFC}=\frac{V_{\rm célula,CFC}}{4}=\frac{4{,}324\times 10^{-23}}{4} =1{,}0810\times 10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}/átomo}.áéá
Variação percentual de volume por átomo (CFC em relação a CCC):
\%\Delta V=\frac{V_{\rm átomo,CFC}-V_{\rm átomo,CCC}}{V_{\rm átomo,CCC}}\times 100\%.ááá
Substituindo:
\%\Delta V=\frac{1{,}0810\times 10^{-23}-1{,}17035\times 10^{-23}}{1{,}17035\times 10^{-23}}\times 100\% \approx -7{,}64\%.
Conclusão: há variação de volume — o volume por átomo diminui ao passar de CCC para CFC; a redução é de aproximadamente 7{,}64\%. (Isso coincide com o aumento da densidade calculado no Passo 4.)

Resposta

(a) a_{\rm CCC}=2{,}86\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm},\\ \text{F.E.}_{\rm CCC}=0{,}68
(b) a_{\rm CFC}=3{,}51\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm},\\ \text{F.E.}_{\rm CFC}=0{,}74
(c) \rho_{\rm CCC}\approx 7{,}92\\ \mathrm{g/cm^{3}},\\ \rho_{\rm CFC}\approx 8{,}57\\ \mathrm{g/cm^{3}}
(d) Sim — o volume por átomo diminui ao passar CCC \to CFC; variação percentual \approx -7{,}64\% (redução de 7{,}64\%).

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