- (FGV-SP) Se a soma e o produto de dois números são iguais a 1, qual o vaor da soma dos cubos desses números?
Passo 1
O problema diz: “Se a soma e o produto de dois números são iguais a 1, qual o valor da soma dos cubos desses números?”
Vou organizar claramente as informações que o enunciado dá e o que pede.
Vou organizar claramente as informações que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (peguei estes do enunciado):
-
. -
.
-
-
Pedido:
- Encontrar
.
- Encontrar
Passo 2
Vamos usar uma identidade algébrica clássica que liga soma de cubos com soma e produto. A identidade é:
Vou explicar direitinho de onde vem essa identidade, passo a passo.
Começamos expandindo
. Pelo binômio de Newton,
Agora agrupamos os termos
no lado direito:
Fatorando
em
obtemos
. Logo:
Essa é a identidade usada. Aqui:
-
e são os dois números do enunciado; -
é a soma deles; -
é o produto deles.
Passo 3
Agora aplicamos a identidade substituindo os valores dados pelo enunciado:
e
.
Usando
substituímos:
Passo 4
Calculemos a expressão num passo simples e claro, fazendo as contas sem pular etapas:
portanto
Observação rápida e tranquilizadora: mesmo que os números
e
que satisfazem
e
sejam complexos (são raízes da equação
), as manipulações algébricas e a identidade acima permanecem válidas e dão resultado real.