1. (FGV-SP) Se a soma e o produto de dois números são iguais a 1, qual o vaor da soma dos cubos desses números?

Passo 1

O problema diz: “Se a soma e o produto de dois números são iguais a 1, qual o valor da soma dos cubos desses números?”
Vou organizar claramente as informações que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes do enunciado):
    • x+y=1.
    • xy=1.
  • Pedido:
    • Encontrar x^3+y^3.

Passo 2

Vamos usar uma identidade algébrica clássica que liga soma de cubos com soma e produto. A identidade é:
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y).
Vou explicar direitinho de onde vem essa identidade, passo a passo.
Começamos expandindo (x+y)^3. Pelo binômio de Newton,
(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.
Agora agrupamos os termos x^3+y^3 no lado direito:
x^3+y^3 = (x+y)^3 - (3x^2y + 3xy^2).
Fatorando 3xy em 3x^2y + 3xy^2 obtemos 3xy(x+y). Logo:
x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y).
Essa é a identidade usada. Aqui:
  • x e y são os dois números do enunciado;
  • (x+y) é a soma deles;
  • xy é o produto deles.

Passo 3

Agora aplicamos a identidade substituindo os valores dados pelo enunciado: (x+y)=1 e xy=1.
Usando
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y),
substituímos:
x^3+y^3 = (1)^3 - 3\cdot 1 \cdot 1.

Passo 4

Calculemos a expressão num passo simples e claro, fazendo as contas sem pular etapas:
(1)^3 = 1, \qquad 3\cdot 1 \cdot 1 = 3,
portanto
x^3+y^3 = 1 - 3 = -2.
Observação rápida e tranquilizadora: mesmo que os números x e y que satisfazem x+y=1 e xy=1 sejam complexos (são raízes da equação t^2-t+1=0), as manipulações algébricas e a identidade acima permanecem válidas e dão resultado real.

Resposta

-2