Por um filamento de corrente no eixo z circula uma corrente de 7 mA na direção
\mathbf{a}{z}, e lâminas de corrente de 0,5 \mathbf{a}{z} \mathrm{~A} / \mathrm{me}-0,2 \mathbf{a}_{z} \mathrm{~A} / \mathrm{m} estão posicionadas em \rho=1 \mathrm{~cm} \mathrm{e} \rho=0,5 \mathrm{~cm}, respectivamente. Calcule
\mathbf{H} em: (a) \rho=0,5 \mathrm{~cm}; (b) \rho=1,5 \mathrm{~cm}; (c) \rho=4 \mathrm{~cm}. (d) Qual é o valor da lâmina de corrente que deveria estar posicionada em \rho=4 \mathrm{~cm} de forma que
\mathbf{H}=0 para todo \rho>4 \mathrm{~cm} ?

Passo 1

Temos um filamento no eixo z transportando corrente
I_{\rm fil} = 7\text{ mA} = 7\times10^{-3}\text{ A}
e duas lâminas de corrente infinitamente longas (superfícies cilíndricas) com densidades de corrente (no sentido +\mathbf{a}_z)
K_{0.5} = -0,2\text{ A/m em }\rho=0{,}5\text{ cm},\qquad K_{1.0} = +0,5\text{ A/m em }\rho=1{,}0\text{ cm}.
Pede-se \mathbf H em três raios \rho e, em (d), a densidade K_3 na lâmina em \rho=4\text{ cm} que zere o campo em \rho>4\text{ cm}. Para resolver, vamos usar a Lei de Ampère para simetria cilíndrica e calcular a corrente total englobada pelo laço circular de raio \rho.

Passo 2

Lei de Ampère (circuital) em meio livre, para um laço circular de raio \rho:
\oint \mathbf H\cdot d\boldsymbol\ell = I_{\rm enc}.
Por simetria \mathbf H=H_\varphi(\rho)\,\mathbf a_\varphi constante ao longo do círculo e d\ell=\rho\,d\varphi\,\mathbf a_\varphi, logo
H_\varphi\,2\pi\rho \;=\; I_{\rm enc} \quad\Longrightarrow\quad H_\varphi(\rho)=\frac{I_{\rm enc}}{2\pi\rho}\quad\bigl[\mathrm{A/m}\bigr].
A corrente englobada é a soma da corrente do filamento mais as de cada lâmina contida dentro de \rho. Cada lâmina em R_i contribui, se \rho\ge R_i, com
I_i = K_i\,(2\pi R_i).

Passo 3

Calculemos I_{\rm enc} em cada caso, sempre tomando as lâminas com R_{0.5}=0{,}005\text{ m} e R_{1.0}=0{,}01\text{ m}:
(a) \rho=0{,}5\text{ cm}=0{,}005\text{ m}: o laço engloba o filamento e a lâmina em \rho=0,5 (tratamos laço “lado de fora” da lâmina).
I_{\rm enc}^{(a)} = I_{\rm fil} \;+\; K_{0.5}\,2\pi R_{0.5} = 7\times10^{-3} +(-0,2)\,2\pi\,(0,005) =7\times10^{-3}-0,0062832 =0,0007168\text{ A}.
(b) \rho=1{,}5\text{ cm}=0{,}015\text{ m}: engloba filamento e as duas lâminas:
I_{\rm enc}^{(b)} =7\times10^{-3} +(-0,2)\,2\pi(0,005) +(0,5)\,2\pi(0,01) =0,007-0,0062832+0,0314159 =0,0321327\text{ A}.
(c) \rho=4\text{ cm}=0{,}04\text{ m}: mesma corrente englobada de (b), pois não há outras lâminas até \rho=4:
I_{\rm enc}^{\text{(c)}}=0,0321327\text{ A}.

Passo 4

Agora aplicamos
H_\varphi(\rho)=\frac{I_{\rm enc}}{2\pi\rho}.
(a) em \rho=0,005\text{ m}:
H_\varphi^{(a)} =\frac{0,0007168}{2\pi\,(0,005)} =0,02282\;\text{A/m} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf H^{(a)}=0,0228\,\mathbf a_{\varphi}\;\text{A/m}.
(b) em \rho=0,015\text{ m}:
H_\varphi^{(b)} =\frac{0,0321327}{2\pi\,(0,015)} =0,3410\;\text{A/m} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf H^{(b)}=0,341\,\mathbf a_{\varphi}\;\text{A/m}.
(c) em \rho=0,04\text{ m}:
H_\varphi^{\text{(c)}} =\frac{0,0321327}{2\pi\,(0,04)} =0,1278\;\text{A/m} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf H^{\text{(c)}}=0,1278\,\mathbf a_{\varphi}\;\text{A/m}.

Passo 5

(d) Para cancelar \mathbf H em toda \rho>4\text{ cm}, o laço logo além dessa lâmina deve englobar corrente total nula:
I_{\rm enc}^{(\rho>4)} = I_{\rm existing} + K_3\,2\pi(0,04)=0.
Como I_{\rm existing}=0,0321327\text{ A},
K_3=-\frac{0,0321327}{2\pi\,(0,04)} =-0,1278\;\text{A/m}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf H(0,5\text{ cm})=0,0228\,\mathbf a_{\varphi}\;\mathrm{A/m}.
(b) \displaystyle \mathbf H(1,5\text{ cm})=0,341\,\mathbf a_{\varphi}\;\mathrm{A/m}.
(c) \displaystyle \mathbf H(4\text{ cm})=0,1278\,\mathbf a_{\varphi}\;\mathrm{A/m}.
(d) A lâmina em \rho=4\text{ cm} deve ter \displaystyle K_3=-0,1278\;\mathbf a_{z}\;\mathrm{A/m} para que \mathbf H=0 em \rho>4\text{ cm}.

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