Find the limits of the following sequences and provide a clear explanation of the reasoning behind each calculation:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede o limite da sequência
Informações dadas (resumindo): para cada
com
temos o termo
composto por um produto de duas partes:
A pergunta concreta é: qual é
?
Passo 2
Estratégia (explicando a técnica que vamos usar): quando temos produtos e potências cuja base/ expoente dependem de
, uma técnica muito útil é trabalhar com o logaritmo natural. Isso transforma produtos em somas e potências em multiplicações, o que facilita o cálculo do limite. Depois de achar o limite do logaritmo, usamos a continuidade da exponencial para voltar ao valor da sequência. Vou aplicar isso separadamente às duas partes que compõem
.
Observação técnica importante (fórmula que usaremos): o limite fundamental que vou usar é
que vale porque a série ou a expansão de
começa por
e porque
é diferenciável em
. Esse fato permite aproximar
por
quando
é pequeno.
Passo 3
Limite da primeira parte
.
Defina
. Tome o logaritmo:
Escrevemos
Agora aplique o limite conhecido com
(quando
,
):
mas note que aqui
, portanto
Isto implica
Então
Como a exponencial é contínua, concluímos
(Fazendo em palavras:
, logo
.)
Passo 4
Limite da segunda parte
.
Defina
. Tome o logaritmo:
Escreva
Usamos novamente
. Com
temos
, isto é
Portanto
Logo, pela continuidade da exponencial,
Passo 5
Combinação dos limites e conclusão final.
Temos limites separados:
Como o produto de duas sequências que convergem tem como limite o produto dos limites (regra básica de limites), obtemos