Find the limits of the following sequences and provide a clear explanation of the reasoning behind each calculation:
f) \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} \sqrt[n]{\frac{n+1}{n}}\'

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\sqrt[n]{\frac{n+1}{n}}.
Informações dadas (resumindo): para cada n\in\mathbb{N} com n\ge1 temos o termo a_n composto por um produto de duas partes:
\text{primeira parte }=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}, \qquad \text{segunda parte }=\sqrt[n]{\frac{n+1}{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/n}.
A pergunta concreta é: qual é \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n?

Passo 2

Estratégia (explicando a técnica que vamos usar): quando temos produtos e potências cuja base/ expoente dependem de n, uma técnica muito útil é trabalhar com o logaritmo natural. Isso transforma produtos em somas e potências em multiplicações, o que facilita o cálculo do limite. Depois de achar o limite do logaritmo, usamos a continuidade da exponencial para voltar ao valor da sequência. Vou aplicar isso separadamente às duas partes que compõem a_n.
Observação técnica importante (fórmula que usaremos): o limite fundamental que vou usar é
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,
que vale porque a série ou a expansão de \ln(1+x) começa por x e porque \ln é diferenciável em 0. Esse fato permite aproximar \ln(1+x) por x quando x é pequeno.

Passo 3

Limite da primeira parte \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}.
Defina b_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}. Tome o logaritmo:
\ln b_n = n\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right).
Escrevemos
\ln b_n = \frac{\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}.
Agora aplique o limite conhecido com x=-\frac{1}{n} (quando n\to\infty, x\to0):
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,
mas note que aqui x=-\frac{1}{n}, portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right)}{-\frac{1}{n}}=1.
Isto implica
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=-1.
Então
\lim_{n\to\infty}\ln b_n = -1.
Como a exponencial é contínua, concluímos
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} e^{\ln b_n}=e^{-1}=\frac{1}{e}.
(Fazendo em palavras: n\ln(1-1/n)\to-1, logo (1-1/n)^n\to e^{-1}.)

Passo 4

Limite da segunda parte \left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/n}.
Defina c_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/n}. Tome o logaritmo:
\ln c_n = \frac{1}{n}\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Escreva
\ln c_n = \frac{\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\;n\;}.
Usamos novamente \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1. Com x=\frac{1}{n} temos \ln(1+1/n)\sim 1/n, isto é
\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}\bigl(1+o(1)\bigr).
Portanto
\ln c_n = \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\bigl(1+o(1)\bigr)=\frac{1+o(1)}{n^{2}}\to 0 \quad (n\to\infty).
Logo, pela continuidade da exponencial,
\lim_{n\to\infty} c_n = e^{0}=1.

Passo 5

Combinação dos limites e conclusão final.
Temos limites separados:
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e}, \qquad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n+1}{n}}=1.
Como o produto de duas sequências que convergem tem como limite o produto dos limites (regra básica de limites), obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = \left(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\right)\left(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n+1}{n}}\right) =\frac{1}{e}\cdot 1=\frac{1}{e}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{e}