8*. Um fio de comprimento L conduz uma corrente I. O fio é deformado para formar um solenóide circular e colocado numa região onde há um campo magnético uniforme. Pretende-se que o campo exerça o maior torque possível sobre o solenóide.
(a) Determine a única direção de \vec{B} que gerará torque máximo;
(b) Mostre que o torque máximo será quando o solenoide tem apenas uma volta (por quê?), sendo dado por
\tau=\frac{I B L^{2}}{4 \pi}

Passo 1

O enunciado dá um fio de comprimento L percorrido por uma corrente I, deformado em forma de um solenóide circular de N voltas de raio r. Coloca-se esse solenóide num campo magnético uniforme \vec{B} e queremos escolher a direção de \vec{B} e o número de voltas N para que o torque seja máximo.
Conteúdo: torque magnético num circuito; relação comprimento–raio; otimização.

Passo 2

Para um solenóide de N voltas, cada volta tem área A=\pi r^2 e o torque vale
\tau = N\,I\,A\,B\,\sin\theta = N\,I\,B\,\pi r^2\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre o eixo do solenóide (normal às espiras) e \vec{B}. Como o comprimento total é
L = N\cdot 2\pi r
temos
r = \frac{L}{2\pi N}.
Substituindo em \tau obtemos
\tau = N\,I\,B\,\pi\!\biggl(\frac{L}{2\pi N}\biggr)^{2}\!\sin\theta = \frac{I\,B\,L^{2}}{4\pi\,N}\,\sin\theta.

Passo 3

Para máxima intensidade de torque devemos fazer \sin\theta=1, ou seja, \theta=90^\circ. Isso significa que \vec{B} deve ser perpendicular ao eixo do solenóide, isto é, contido no plano da espira. Essa é a única direção que garante \sin\theta=1.

Passo 4

Com \sin\theta=1, fica
\tau(N)=\frac{I\,B\,L^{2}}{4\pi\,N}.
Como \tau(N) decresce quando N aumenta, o torque é máximo para o menor N possível, isto é, N=1 (uma única volta). Substituindo N=1
\tau_{\max}=\frac{I\,B\,L^{2}}{4\pi}.

Resposta

(a) A direção de \vec{B} deve ser perpendicular ao eixo do solenóide (no plano da espira).
(b) O torque máximo ocorre para uma volta ( N=1) e vale
\tau_{\max}=\frac{I\,B\,L^{2}}{4\pi}.

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