Uma firma de vendas por correio envia cartas anunciando um determinado produto aos possíveis clientes. A porcentagem de respostas a essas cartas é em geral 10 \%. Supondo que um prédio tenha 20 moradores e que todos recebam uma carta, determine a probabilidade de:
a)nenhum morador responder essas cartas?
b)somente dois moradores responderem estas cartas?
c)pelo menos três moradores respondam a estas cartas?
d)responderem menos de 20 \% dos moradores contatados?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as probabilidades indicadas:
  • Um prédio tem 20 moradores e todos recebem uma carta.
  • A porcentagem (probabilidade) de resposta a cada carta é 10\%.
  • Perguntas:
    a) Probabilidade de nenhum morador responder.
    b) Probabilidade de exatamente dois moradores responderem.
    c) Probabilidade de pelo menos três moradores responderem.
    d) Probabilidade de responderem menos de 20\% dos moradores contatados.

Passo 2

Vamos modelar o número de respostas por uma variável aleatória discreta X que conta quantos moradores respondem. As informações que temos permitem usar a fórmula a seguir para cada probabilidade individual:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • n é o número total de tentativas (aqui n=20),
  • k é o número de sucessos que queremos (número de respostas),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui p=0{,}10),
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta quantas maneiras distintas de escolher k respondentes entre n pessoas, e vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Explicando a fórmula de forma simples: \binom{n}{k} conta as combinações possíveis de quem responde; p^{k} é a probabilidade de que esses k específicos respondam; (1-p)^{n-k} é a probabilidade de que os outros n-k não respondam. Multiplicando e somando (quando necessário) obtemos as probabilidades pedidas.

Passo 3

Calcular alguns coeficientes binomiais que usaremos:
\binom{20}{0}=1,\qquad \binom{20}{1}=20,\qquad \binom{20}{2}=190,\qquad \binom{20}{3}=1140.
(Para ver rapidamente: \binom{20}{2}=\dfrac{20\cdot19}{2}=190; \binom{20}{3}=\dfrac{20\cdot19\cdot18}{3\cdot2\cdot1}=1140.)
Também é útil calcular potências de 1-p=0{,}90:
0{,}9^{2}=0{,}81,\quad 0{,}9^{5}=0{,}59049,\quad 0{,}9^{10}=0{,}3486784401,
0{,}9^{20}=(0{,}9^{10})^{2}\approx0{,}1215766546.
Vou usar essas relações para obter outras potências por divisão quando conveniente (por exemplo 0{,}9^{18}=0{,}9^{20}/0{,}9^{2}).

Passo 4

Aplicando a fórmula com k=0:
P(X=0)=\binom{20}{0}\,0{,}1^{0}\,0{,}9^{20}=1\cdot1\cdot0{,}9^{20}\approx0{,}1215766546.
Arredondando de forma prática, P(X=0)\approx0{,}1216.

Passo 5

Aplicando a fórmula com k=2:
P(X=2)=\binom{20}{2}\,0{,}1^{2}\,0{,}9^{18}.
Usamos \binom{20}{2}=190, 0{,}1^{2}=0{,}01 e 0{,}9^{18}=0{,}9^{20}/0{,}9^{2}\approx0{,}1215766546/0{,}81\approx0{,}1500895886. Então
P(X=2)\approx190\cdot0{,}01\cdot0{,}1500895886=1{,}9\cdot0{,}1500895886\approx0{,}2851702183.
Arredondando, P(X=2)\approx0{,}2852.

Passo 6

É mais fácil calcular pelo complementar:
P(X\ge3)=1-P(X\le2)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big).
Já temos P(X=0) e P(X=2). Falta P(X=1):
P(X=1)=\binom{20}{1}\,0{,}1^{1}\,0{,}9^{19}=20\cdot0{,}1\cdot0{,}9^{19}.
Calculamos 0{,}9^{19}=0{,}9^{20}/0{,}9\approx0{,}1215766546/0{,}9\approx0{,}1350840607. Então
P(X=1)\approx20\cdot0{,}1\cdot0{,}1350840607=2\cdot0{,}1350840607\approx0{,}2701681214.
Somando:
P(X\le2)\approx0{,}1215766546+0{,}2701681214+0{,}2851702183\approx0{,}6769149943.
Portanto
P(X\ge3)\approx1-0{,}6769149943\approx0{,}3230850057,
ou seja, aproximadamente 0{,}3231.

Passo 7

Menos de 20\% de 20 moradores significa menos de 4 moradores, ou seja X<4, que é X\le3. Então:
P(X\le3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3).
Já temos P(X=0),P(X=1),P(X=2). Calculamos P(X=3):
P(X=3)=\binom{20}{3}\,0{,}1^{3}\,0{,}9^{17}=1140\cdot0{,}001\cdot0{,}9^{17}.
Usamos 0{,}9^{17}=0{,}9^{20}/0{,}9^{3}\approx0{,}1215766546/0{,}729\approx0{,}1667718169. Então
P(X=3)\approx1140\cdot0{,}001\cdot0{,}1667718169=1{,}14\cdot0{,}1667718169\approx0{,}1901432713.
Somando tudo:
P(X\le3)\approx0{,}1215766546+0{,}2701681214+0{,}2851702183+0{,}1901432713\approx0{,}8670582656.
Arredondando, P(X\le3)\approx0{,}8671.

Resposta

a) 0,1216
b) 0,2852
c) 0,3231
d) 0,8671

Exercícios relacionados