Uma firma de vendas por correio envia cartas anunciando um determinado produto aos possíveis clientes. A porcentagem de respostas a essas cartas é em geral
. Supondo que um prédio tenha 20 moradores e que todos recebam uma carta, determine a probabilidade de:
a)nenhum morador responder essas cartas?
b)somente dois moradores responderem estas cartas?
c)pelo menos três moradores respondam a estas cartas?
d)responderem menos de
dos moradores contatados?
a)nenhum morador responder essas cartas?
b)somente dois moradores responderem estas cartas?
c)pelo menos três moradores respondam a estas cartas?
d)responderem menos de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as probabilidades indicadas:
- Um prédio tem
moradores e todos recebem uma carta. - A porcentagem (probabilidade) de resposta a cada carta é
. - Perguntas:
a) Probabilidade de nenhum morador responder.
b) Probabilidade de exatamente dois moradores responderem.
c) Probabilidade de pelo menos três moradores responderem.
d) Probabilidade de responderem menos dedos moradores contatados.
Passo 2
Vamos modelar o número de respostas por uma variável aleatória discreta
que conta quantos moradores respondem. As informações que temos permitem usar a fórmula a seguir para cada probabilidade individual:
onde:
-
é o número total de tentativas (aqui ), -
é o número de sucessos que queremos (número de respostas), -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui ), -
é o coeficiente binomial, que conta quantas maneiras distintas de escolher respondentes entre pessoas, e vale
Explicando a fórmula de forma simples:
conta as combinações possíveis de quem responde;
é a probabilidade de que esses
específicos respondam;
é a probabilidade de que os outros
não respondam. Multiplicando e somando (quando necessário) obtemos as probabilidades pedidas.
Passo 3
Calcular alguns coeficientes binomiais que usaremos:
(Para ver rapidamente:
;
.)
Também é útil calcular potências de
:
Vou usar essas relações para obter outras potências por divisão quando conveniente (por exemplo
).
Passo 4
Aplicando a fórmula com
:
Arredondando de forma prática,
.
Passo 5
Aplicando a fórmula com
:
Usamos
,
e
. Então
Arredondando,
.
Passo 6
É mais fácil calcular pelo complementar:
Já temos
e
. Falta
:
Calculamos
. Então
Somando:
Portanto
ou seja, aproximadamente
.
Passo 7
Menos de
de
moradores significa menos de
moradores, ou seja
, que é
. Então:
Já temos
. Calculamos
:
Usamos
. Então
Somando tudo:
Arredondando,
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)